我们高数学的都是黎曼积分。黎曼积分仅仅适用于连续或者几乎处处连续的函数的积分，但是许多函数并不满足上述性质。比如狄利克雷函数，其在定义域上是处处不连续的，无法进行黎曼积分。 黎曼积分：黎曼积分的思想是分割积分区间，用一个个小的矩形去近似不规则图形的面积，但是我们在画矩形的时候，由于两侧端点对应的函数值往往不相等，所以我们既可以选择那个较大的矩形，也可以选择较小的那个矩形，只有在这两种情况下得到的面积相等，这个函数才是黎曼可积的。 根据上面的说法，为了使函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上黎曼可积，在划分\([a,b]\)后，\(f(x)\)在每个小区间上的振幅必须足够小，因此许多激烈振荡的函数都不是黎曼可积。此外在涉及函数列时，黎曼积分的表现也不尽如人意，比如黎曼可积函数\(f(x)\)的\(1/n \)次方，它的极限函数是狄利克雷函数。 狄利克雷函数：是一个定义在实数范围上、值域为\(\{0,1\}\)的函数，用\(D(x)\)或者\(\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\)表示： (\(\mathbb{Q}\)表示实数，对应于单词quotient)$$\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)= \begin{cases}1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}$$狄利克雷函数也可以表达为一个连续函数序列的双重点极限：(其中\(k\)和\(j\)是整数)$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad D(x)=\displaystyle\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\displaystyle\lim _{j \rightarrow \infty}(\cos (k ! \pi x))^{2 j}\right)$$ 狄利克雷函数的性质： (1) 定义在整个数轴上； (2) 无法画出图像； (3) 以任何正有理数为其周期(从而无最小正周期)； (4) 处处无极限、不连续、不可导； (5) 在任何有界区间上黎曼不可积，另一方面也作为反例说明了对于黎曼积分，单调收敛定理不成立； (6) 是偶函数； (7)…

数学从主要领域来讲，有几何学(欧几里得几何学，非欧几里得，派生的微分几何，拓扑学也可以放在里面)，代数学(初高中方程，研究一元高次方程有没有根公式)。五次和五次以上的一般一元方程，不能用求根公式求解，除非方程的群是可解群(充要条件，伽罗瓦证明的)，伽罗瓦的群论、域论。伽罗瓦的研究成果使得代数学从经典的研究方程的根转变为现代的(近世代数学)研究代数系统的结构和态射为中心，所谓代数系统是指具有代数运算的集合，研究代数系统的结构，群、环、域等等以及群之间、环之间的映射，这映射还要保持运算，叫作“态射”。分析学：牛顿和莱布尼兹创立的微积分在工程上有广泛应用。 注：陆俊的近世代数讲义，参考笔记1，2。 代数系统(Algebraic structure)也称代数结构，通常有三个组成部分： (1) 一个集和(研究对象)，称为代数的载体； (2) 定义在载体上的若干运算； (3) 载体的若干特异元素(如幺元，零元，逆元等)，称为代数常数。(对有些代数可以不含或不考虑代数常数) 什么是数学的思维方式？ 高中的时候做题有用到数形结合是一种数学的思维方式，但是其实数学的思维方式是一个整体的，而不是某一部分或者说局部的。 数学的概念很多，数学是需要证明的。 观察客观现象(纷繁复杂)，提出要研究的问题，从这角度抓住主要特征； 抽象出概念，或者建立数学模型； 探索要运用很多方法，比如直觉(各种经验)，在一个具体例子中解剖(解剖麻雀，麻雀虽小五脏俱全)，类比，数学归纳法(高中学的数列)，联想，逻辑推理； 猜测，可能有的规律； 论证，论证只能用公理、定义和已经证明的定理，公理也就是大家的共识，比如两点决定一条直线，抽象的概念就是定义。论证的过程需要逻辑推理和计算； 揭示事物的内在规律(井然有序)。 1543年哥白尼《天体运行论》，1609年，1619年，开普勒分别发表《新天文学》，《世界之和谐》。除了对天体运动的研究，还有对地面物体运动的研究，比如一个向空中发射的炮弹，需要求解： (1) 瞬时速度； (2) 求运动曲线的切线； (3) 求函数的最大值和最小值； (4) 求求曲线长度，曲线围成的面积，曲面围成的体积。 解决这些问题是现实世界的客观需求，1666年，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，解决了这四大问题。 例子：如果路程为\(s= 5t^2\)，求\(t\)时刻的速度(瞬时速度)，利用\(\Delta S/\Delta t\)可求解出\(\Delta t\)时间内的平均速度为\(10t+ 5\Delta t\)。牛顿认为\(  \Delta t\)越小，就越接近\(t\)时刻的瞬时速度，根据运动的经验，他直接忽略含有\(\Delta \)的项，即得到\(10t\)。 最终结果虽然是对的，但是我们开始假定\( \Delta t\)不等于零，后面又认为\( \Delta t\)等于零而省去，逻辑上有矛盾。在之后的数学家通过各种努力想说清楚这个问题。 1841年，柯西说，让\( \Delta t\)无限趋近于零(无限过程)，但不等于零这个极限时的速度就是瞬时速度，他认为\(\left|\displaystyle\frac{\Delta…

混沌 气象学家洛伦兹发现稍微修改计算的条件，比如“输入数据”中小数点后保留的位数，或者计算的起始点稍微变化，都会导致随着时间的延长，后一次模拟的结果和前一次模拟的结果之间差别越来越大。他抓住这突发的事件，经过反复思考，后来这个地方就产生了一门新的学问。洛伦兹是混沌理论的少有几位创立者之一，他在1963年发表的关于混沌理论的开创性研究在被冷落了12年之久以后才得到广泛承认，并很快引发对混沌研究的热潮，由此诞生和发展起了一门新兴学科—混沌理论，成为现代新兴学科的代表。 【混沌理论】是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。 【蝴蝶效应】(初始值的微小变化极大影响结果)； 【非线性现象】(多个因素相互影响/约束，未知函数有非线性项)，其实就是蝴蝶效应的原因； 典型的混沌现象： 天气预报，长期天气预报注定失败(微小的变化会影响很远很远)。 三体问题。 混沌和随机运动的差异：外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性，或者说混沌系统对无限小的初值变动和微扰也具有敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。 物理学家们喜欢想，人们要做的全部事情就是说：这些是条件，下一步将发生什么？— 费曼 (这句话是说必然性、确定性的思维方式，而混沌与分形在思想方法上对我们来说是一个冲击。) To see a World in a Grain of Sand And a Heaven in a Wild Flower, Hold Infinity in the palm of your hand And Eternity in an hour. — William Blake 单摆来回摆动的轨迹是一样的，但是【双杆摆】(Double-compound-pendulum)将呈现混沌行为。 从开始略微不同的初始条件摆杆将导致一个完全不同的轨迹。双杆摆是具有混沌方案最简单的动力系统之一。 【洛伦兹吸引子】，以其双纽线形状而著称，映射展示出动力系统(三维系统的三个变量)的状态是如何以一种复杂且不重复的模式，随时间的推移而演变的，对应方程组(第二个和第三个方程非线性)如下。(交互动画参考Lorenz…

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/123055646 https://zhuanlan.zhihu.com/p/54516805 视频 椭圆和圆是同胚的，数字8和B是同胚的，带手柄的杯子和甜甜圈是同胚的，都可以通过连续变化转化成对方。同胚给人们提供了透过现象看本质的思考方式。 4. 拓扑空间 欧几里得几何学需要内积，但连续的概念不需要内积，甚至不需要距离。例如：社交圈的描述；学号的指定是“连续”的。 仔细考察连续的概念，其实它需要的是开集。 \( \forall \varepsilon>0\), \( \exists \delta>0\), \(\left(\left|x-x_{0}\right|<\delta\right) \Rightarrow\left(\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon\right)\) 记\(x_{0} \in D \subset \mathbf{R}\)，$$\begin{aligned} &O\left(x_{0}, \delta\right)=\left\{x ;\left|x-x_{0}\right|<\delta\right\} \\ &O\left(f\left(x_{0}\right), \varepsilon\right)=\left\{y ;\left|y-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon\right\} \end{aligned}$$那么可定义连续为：$$\begin{aligned} &\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 \\ &f\left(O\left(x_{0}, \delta\right) \cap D\right) \subset O\left(f\left(x_{0}\right), \varepsilon\right) \end{aligned}$$即，用开集可以定义连续。 设\(X\)是任一集合\(\tau \in 2^{X}\)，若满足：…