网友笔记-不全配套 视频 习题视频 [mathjax] 多变量微积分(推荐) MIT官方资料
MIT-多变量微积分-2
MIT-多变量微积分-3
MIT-多变量微积分-4
向量和点乘
向量的表示
向量的加法:几何意义和数值计算。
向量乘以一个标量:直接放大或者缩小。
点乘定义和几何意义
余弦定理和点乘的等价性
点乘的应用
(1) 求解空间中任意两个向量之间的夹角(判断垂直关系);求解向量长度。
(2) 说明
答:可以看成是与向量
(3) 求解一个向量在某个方向上的投影分量。
(4) 求解平面图形的面积
首先看一种比较容易想到的方法:
接下来看如何利用点乘来计算(实现正余弦转换)
先求出
求解
注意我们是利用
面积求解总结一下:
补充(六面体体积)
三个三维向量组成的行列式计算
叉乘
定义
定理
右手定则计算
再探平行六面体体积
上面右侧,其实是按照点乘的定义(
应用
(1) 已知三个点,判断任意一个点是否在这三个点组成的平面内。
方法1:三个向量围成的平行六面体的体积为零。
方法2:原来的三个点组成的平面的法向量
法向量
注:
(1)
(2) 前面的点乘和叉乘的混合叫作“混合积”,这是和行列式一样的东西。
矩阵
基本知识
1. 改变坐标系,其实就是线性变换。
2. 两个矩阵相乘,我们可以这样思考运算规则:
3. 线性变换
4. 向量逆时针旋转90度
横轴线性变换之后,变成了原来纵轴的方向;纵轴线性变换,变成了原来横轴的负方向。总的效果就是整个坐标轴逆时针旋转了90度。
计算逆矩阵
第一步:计算余子式矩阵;
第二步:计算代数余子式矩阵;(特定元素变号)
第三步:将代数余子式的转置;
第四步:将第三步的矩阵除以原矩阵的行列式的值。
解特定法向量的平面
例:求解法向量为
解:
如果不是要求过原点,而是过特定点,比如
解:这里利用的是对该平面上任意一点
平面的线性系统
三个平面交于一点:唯一解(系数矩阵可逆);
交于一条线:无数组解(系数矩阵行列式为零);
不相交:无解(系数矩阵不可逆,行列式也等于零)。
判断到底是无数组解还是无解,要通过消元法。
齐次方程组
零解是trivial solution(平凡解)
(a)
(b)
参数方程(直线/摆线/弧长/开普勒第二定律)
参数方程表示空间中的直线
已知三维空间中两个点的坐标,求解两点连成的直线上的所有点的位置坐标?
解:将这条直线看作是“移动的点的轨迹”
平面和直线的交点
给定平面
解:
摆线的参数方程
以摆线为例(Cycloid),晚上自行车车轮上固定的灯的轨迹就是摆线。特点就是无论这个轮子的转速是快是慢,都不影响轨迹线,因此我们不采用时间
最终的参数方程为
答:在
摆线运动的速度和加速度
我们前面求解的是关于角度
所以摆线时间的参数方程为
上图表示上一个周期运动突然结束,然后速度突然变为零,同时在该瞬间获得一个向上的加速度。注意下式不成立
弧长(Arc length)
s= distance travelled along trajectory,弧长对时间求导就是速度矢量的模长
这里引入一个新的概念“单位正切矢量”
开普勒第二定律
【开普勒定律】(Kepler's laws of planetary motion)是开普勒1609年发表的成果,其中的开普勒第二定律描述的是:
Motion of planets in a plane, and the area is swept out by the line from sun to planet at a constant rate. 就是单位时间内行星和太阳的连线扫过的面积相等。后来,牛顿用万有引力定律科学上解释了这一现象。下面的推导,发现要实现上述定律,只需要位移矢量和加速度矢量的叉乘为零,换句话说二者的方向共线,这显然满足,因为星星运动的加速度只来自于和太阳之间的万有引力,所以这个加速度的方向和位移矢量的方向恰好共线而且反向。矢量运算真强大!
拓展资料:
(1) 行星的运动—上海八中
(2) 行星轨道为什么是椭圆—科普时报