交换/结合/分配律

【交换律】(Commutative property )：是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立，则称这两个元素为在此运算下是"可交换"的。

• 在集合\(S\)的一个二元运算 \(*\) 被称之为"可交换"的，若\(\forall x, y \in S, x * y=y * x\)；
• 若称\(x \)在 \(*\) 下和\(y\)可交换，即表示\(x* y=y * x\)；
• 二元函数\(f: A \times A \rightarrow B\)被称之为可交换的，若\(\forall x, y \in A, f(x, y)=f(y, x)\)。此函数图像会对\(y=x\)对称。

可交换的例子：

• 实数的加法、乘法，复数的乘法；
• 更广义地说，在一个域中，加法和乘法都是可交换的；
• 集合的交集与并集、"与"和"或"的可交换的逻辑运算；
• 加法在每个向量空间和每个代数中都是可交换的；
• 阿贝尔群的群运算；
• 域的加法与乘法都是可交换的；
• 交换环是一个乘法为可交换的环。

不可交换的例子：

• 洗衣和干衣；
• 计算机中的字符串的串接(Concatenation，将字串连在一起的行为)是个不可交换的运算。
• 魔方的扭转是不可交换的，这些扭转被用于研究群论；
• 减法不可交换，但是可以将减法符号看作是加上其相反数，如此就可以使用交换律；
• 除法不可交换，但是可以将除法转换成乘以其倒数，如此就可以使用交换律；
• 矩阵的乘法不可交换；
• 求幂运算；
• 从实数到实数的线性函数的函数组合几乎总是不可交换的，比如让\(f(x)=2 x+1\)和\(g(x)=3 x+7\)

【反交换】(anticommutative)的例子

• 减法运算；
• 两个

运算

【代数系统】= 非空集合 +运算

【运算】(Operation)：设\(A\)，\(B\)，\(C\)为三个非空集合，映射\(f: A \times B \rightarrow C\)就称为\(A\)与\(B\)到\(C\)的运算。

• 有的情况下运算不具有可交换性，即\(A \times B\)和\(B \times A\)不等价，比如笛卡尔积，矩阵相乘等等。
• 如果\(A\)，\(B\)，\(C\)为三个非空集合是同一个集合，都用\( A\)来表示，那么映射\(f: A \times A \rightarrow A\)称为\(A\)上的【二元运算】(Binary operation)。给定\(a, b \in A\)，则运算结果\(f(a, b) \in A\)。
• 如果说二元运算，那么默认其对所定义的集合具有【封闭性】(closure)；如果只是说运算，那么就没有这种默认。比如在定义群的时候，我们如果一上来就说是二元运算，那么我们就不再赘述封闭性。
• 符号表示：\(f(a, b)\)的运算，等价地表示为\(a \diamond b\)，即此处用【连接符】表示运算，更复杂的比如\(f(f(c, f(a, b)), d)=(c \diamond(a \diamond b)) \diamond d\)。这样的好处是使得表示起来更简单，也有助于发现运算的规律。有序对\((A, \odot)\)表示定义在集合\(A\)上的\(\odot\)运算。

闭包

xx

参考资料：
(1) 二元运算、等价关系和分划、同余关系—知乎

单子