抽象代数基础

 

交换/结合/分配律

交换律(Commutative property ):是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立,则称这两个元素为在此运算下是"可交换"的。

  • 在集合\(S\)的一个二元运算 \(*\) 被称之为"可交换"的,若\(\forall x, y \in S, x * y=y * x\);
  • 若称\(x \)在 \(*\) 下和\(y\)可交换,即表示\(x* y=y * x\);
  • 二元函数\(f: A \times A \rightarrow B\)被称之为可交换的,若\(\forall x, y \in A, f(x, y)=f(y, x)\)。此函数图像会对\(y=x\)对称。

可交换的例子

  • 实数的加法、乘法,复数的乘法;
  • 更广义地说,在一个域中,加法和乘法都是可交换的;
  • 集合的交集与并集、"与"和"或"的可交换的逻辑运算;
  • 加法在每个向量空间和每个代数中都是可交换的;
  • 阿贝尔群的群运算;
  • 域的加法与乘法都是可交换的;
  • 交换环是一个乘法为可交换的环。

不可交换的例子

  • 洗衣和干衣;
  • 计算机中的字符串的串接(Concatenation,将字串连在一起的行为)是个不可交换的运算。
  • 魔方的扭转是不可交换的,这些扭转被用于研究群论;
  • 减法不可交换,但是可以将减法符号看作是加上其相反数,如此就可以使用交换律;
  • 除法不可交换,但是可以将除法转换成乘以其倒数,如此就可以使用交换律;
  • 矩阵的乘法不可交换;
  • 求幂运算;
  • 从实数到实数的线性函数的函数组合几乎总是不可交换的,比如让\(f(x)=2 x+1\)和\(g(x)=3 x+7\)

反交换(anticommutative)的例子

  • 减法运算;
  • 两个

 

 

运算

代数系统= 非空集合 +运算

运算(Operation):设\(A\),\(B\),\(C\)为三个非空集合,映射\(f: A \times B \rightarrow C\)就称为\(A\)与\(B\)到\(C\)的运算。

  • 有的情况下运算不具有可交换性,即\(A \times B\)和\(B \times A\)不等价,比如笛卡尔积,矩阵相乘等等。
  • 如果\(A\),\(B\),\(C\)为三个非空集合是同一个集合,都用\( A\)来表示,那么映射\(f: A \times A \rightarrow A\)称为\(A\)上的二元运算(Binary operation)。给定\(a, b \in A\),则运算结果\(f(a, b) \in A\)。
  • 如果说二元运算,那么默认其对所定义的集合具有封闭性(closure);如果只是说运算,那么就没有这种默认。比如在定义群的时候,我们如果一上来就说是二元运算,那么我们就不再赘述封闭性。
  • 符号表示:\(f(a, b)\)的运算,等价地表示为\(a \diamond b\),即此处用【连接符】表示运算,更复杂的比如\(f(f(c, f(a, b)), d)=(c \diamond(a \diamond b)) \diamond d\)。这样的好处是使得表示起来更简单,也有助于发现运算的规律。有序对\((A, \odot)\)表示定义在集合\(A\)上的\(\odot\)运算。

闭包

xx

参考资料:
(1) 二元运算、等价关系和分划、同余关系—知乎

单子


 

群论—引言

 

代数运算:虑由集合\(S\)的元素形成的有序元素对组成的集合:$$S\times S:=\{(a,b)\mid a,b\in S\}$$称\(S\times S\)是\(S\)与自身的笛卡尔积,那么从\(S\)到\(S\)映射称为\(S\)上的一个代数运算。

代数系统:现代数学的一个鲜明特征是研究具有代数运算的集合,称它们为代数系统。

(ring):一个非空集合\(R\)如果定义了两种代数运算,一种叫做加法,另一种叫做乘法,并且满足\(6\)条运算法则:

  • 加法:
    • 交换律
    • 结合律
    • 有零元素(简称零元)
    • 每个元素有负元素:于是可以用加法来定义减法运算\(a-b:=a+(-b)\)
  • 乘法:
    • 结合律
    • 对于加法的分配律(乘法和加法的桥梁)

环的其他概念:

  • 如果环\(R\)的乘法满足交换律,称其为交换环
  • 如果环\(R\)中一个元素\(e\)满足\(ea=ae=a\),称该元素为该环的单位元
  • 如果环中元素\(a\)来说,存在换中一个非零元素使得\(ac=0\)或\(ca=0\),那么称\(a\)是一个左(右)零因子,显然这里\(a=0\)肯定就是该环的零因子,说白了零因子就是可以将一个非零元通过乘法运算变为零元。
  • 有单位元\(e(\neq0)\)的交换环\(R\)如果没有非零的零因子(即任意两个元素相乘不等于零),那么称\(R\)是一个整环,比如整数集\(\mathbb{Z}\)

环的例子:

  • 整数集\(\mathbb{Z}\)
  • 偶数集\(2\mathbb{Z}\)
  • 实系数一元多项式组成的集合\(\mathbb{R}[x]\)
  • 元素为实数的所有\(n\)阶矩阵组成的集合\(M_n(\mathbb{R})\)

整数集\(\mathbb{Z}\)可以根据星期几,即除以\(7\)的余数来建立一一对应关系\(\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6}\}\),于是可以实现对整数集的划分。比如星期日是被\(7\)整除的整数组成的子集,记作\(\overline{0}\)。整数\(a\)与\(b\)如果被\(7\)除余数相同,那么称\(a\)与\(b\)模\(7\)同余,记作\(a \equiv b(\bmod7).\overline{0},\overline{1},\cdots,\overline{6}\)都称为模\(7\)剩余类。由这个例子推广到:对于任一大于\(1\)的整数\(m\),若整数\(a\)与\(b\)被\(m\)除余数相同,则称\(a\)与\(b\)模\(m\)同余,记作\(a\equiv b(\bmod m)\)。对于\(i\in\{0,1,\cdots,m-1\}\),$$\bar{i}:=\{km+i\mid k\in\mathbb{Z}\}$$称为一个模\(m\)剩余类。所有模\(m\)剩余类(共\(m\)个)组成的集合\(\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{m-1}\}\)给出了整数集\(\mathbb{Z}\)的一个划分,记作\(\mathbb{Z}_m\)。在\(\mathbb{Z}_m\)中规定加法和乘法运算如下:$$\bar{a}+\bar{b}:=\overline{a+b},\quad\bar{a}\bar{b}:=\overline{ab}$$可以验证这些规定是合理的。容易验证\(\mathbb{Z}_m\)成为有单位元\(\overline{1}\)的交换环,称它模\(\boldsymbol{m}\)剩余类环

对于\(\mathbb{Z}_8=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6},\overline{7}\}\)的例子,显然\(\bar{2} \bar{4}=\bar{0}\),这类似线性代数两个不为零的矩阵乘积为零,因此\( (\mathbb{Z}_8\)不是整环。另外\(\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6}\)都是\(\mathbb{Z}_8\)的零因子,剩下的\(\overline{3}, \overline{5}, \overline{7}\)都是\(\mathbb{Z}_8\)的可逆元

证明:在有单位元的环\( R\)中,零因子一定不是可逆元。

引出(field)的概念:\(\mathbb{Z}_7=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6}\}\)是有单位元的交换环,且里面每一个非零元都可逆。有理数集\(  \mathbb{Q}\),实数集\(\mathbb{R}\),复数集\(\mathbb{C}\),都是有单位元\((e\neq 0)\)的交换环,且每个非零元都是可逆元,由此抽象出域的概念:设\(F\)是一个有单位元\(e(\neq 0)\) 的交换环,如果\(F\)中每一个非零元都是可逆元,那么称\(F\)是一个域。这里我们给出\(\mathbb{Z}_7\)的例子是为了说明域不仅仅有我们经常接触到的无限域(有理数/实数/复数),也可以是由几个元素组成的集合。

\(\mathbb{Z}_m\) 中所有可逆元组成的集合记作 \(\mathbb{Z}_m^*\). 例如, \(\mathbb{Z}_8^*=\{\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{7}\}\). 由于 \(\overline{1}+\overline{3}=\) \(\overline{4} \notin \mathbb{Z}_8^*\), 因此模 8 剩余类的加法不是 \(\mathbb{Z}_8^*\) 的运算。由于 $$ \begin{array}{lll} \overline{3} \overline{5}=\overline{7}, & \overline{3} \overline{7}=\overline{5}, & \overline{5} \overline{7}=\overline{3}, \\ \overline{3} \overline{3}=\overline{1}, & \overline{5} \overline{5}=\overline{1}, & \overline{7} \overline{7}=\overline{1}, \end{array} $$ 因此模 8 剩余类的乘法是 \(\mathbb{Z}_8^*\) 的运算. 于是 \(\mathbb{Z}_8^*\) 有一种代数运算.

在域\(F\)中,可以定义除法运算:对于\(a, b \in F\),且\(b \neq 0\),规定\(a \div b:=a b^{-1}\)。

引出的概念:\(\mathbb{Z}_m\)中所有可逆元组成的集合记作\(\mathbb{Z}_m^*\)。例如\(\mathbb{Z}_8^*=\{\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{7}\}\), 由于 \(\overline{1}+\overline{3}=\) \(\overline{4} \notin \mathbb{Z}_8^*\),因此模 8 剩余类的加法不是 \(\mathbb{Z}_8^*\) 的运算。由于 $$ \begin{array}{lll} \overline{3} \overline{5}=\overline{7}, & \overline{3} \overline{7}=\overline{5}, & \overline{5} \overline{7}=\overline{3}, \\ \overline{3} \overline{3}=\overline{1}, & \overline{5} \overline{5}=\overline{1}, & \overline{7} \overline{7}=\overline{1}, \end{array} $$ 因此模\(8\)剩余类的乘法是\(\mathbb{Z}_8^*\) 的运算。于是\(\mathbb{Z}_8^*\)只有一种代数运算,即乘法运算。总结一下就是:\(\mathbb{Z}_8^*\)中每个元素的逆都在其中,而且(只)有乘法运算

域\(F\)上所有\(n\)阶可逆矩阵组成的集合记作\(\mathrm{GL}_n(F)\)。显然矩阵的加法不是\(\mathrm{GL}_n(F)\)的运算。由于两个\(n\)阶可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵,因此矩阵的乘法是 \(\mathrm{GL}_n(F)\)(唯一)的运算。这说明\(\mathbb{Z}_8^*\)和\(\mathrm{GL}_n(F)\)都是只有一种运算的代数系统,这不同于之前的环和域的概念,迫使你从中抽象出一个新的概念——群。总结一下就是:

  • 结合律
  • 有单位元
  • 有逆元

先讲环,再讲域,最后讲群,是最自然不过的,最容易接受的。

群的tips:

  • \(\mathbb{Z}_m^* \)是一个群,称它为\(\mathbb{Z}_m \)的单位群;
  • 满足乘法交换律的群,就是Abel群;
  • \(\mathrm{GL}_n(F)\)是域\( F\)上的\(n\)级一般线性群;
  • 设\(V\)是域\(F\)上的线性空间,\(V\)上所有可逆线性变换组成的集合记作\(\mathrm{GL}(V)\),它对于映射的乘法成为一个群,称它为\(V\)上的可逆线性变换群
  • 子群\(H \leq G\);

群的划分:研究群的结构的一种途径是利用它的各种子群!比如前面我们利用\(\mathbb{Z}_7=\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}, \overline{6}\}\)可以对整数进行分类,星期一的归一类,星期天的归另一类,等等。同样地,我们也可以利用等价关系,符号\(\sim\)来对群中元素进行分类,所谓等价关系就是满足反身性,对称性和传递性的二元关系,则等价类组成的集合就是集合\(G\)的一个划分。比如说两个向量组可以互相线性表示,那么就说两个向量组是等价的,反身性表现在一个向量组肯定可以由自身线性表示,对称性表现在互相线性表示,传递性表现在\(A\)向量组和\(B\)向量组等价,\(B\)向量组和\(C\)向量组等价,那么一定有\(A\)向量组和\(C\)向量组等价。

下面用三维空间的例子说明等价类和等价关系:(其他例子参考<群论>对左陪集关系的理解—知乎)

  1. 进一步地,在\(\mathbf{R}^{3}\)向量空间,我们可以定义一个群,即群的二元运算\(\star\)为向量的加法,单位元就是零向量;
  2. 取\(\mathbf{R}^{3}\)的一个子空间,或者说一个过原点的二维平面\(\mathbf{P}\),显然它也满足前面的群的定义,实际上就是前面定义的那个群的子群;
  3. 在\(\mathbf{R}^{3}\)上任意取一个向量\(\vec{a}\),如果另一个向量\(\vec{b}\)满足这样条件,即\(((\vec{b})^{-1}\star \vec{a}) \in \mathbf{P}\),那么我们就说\(  b\)和\(\vec{a}\)等价,所有满足这种条件的向量\(\vec{b}\)组成的集合就是向量\(\vec{a}\)的等价类,注意此处\((\vec{b})^{-1}\)即\(\vec{b}\)的逆元就是我们传统意义上的\(-\vec{b}\);
  4. 向量\(\vec{a}\)的等价类,实际上是\(\vec{a} \star \mathbf{P}\),即遍历\( \mathbf{P}\)上的所有元素和向量\(\vec{a}\)做二元运算(传统意义上的加法运算);
  5. 向量\(\vec{a}\)的等价类具有的共同特点是什么,即向量终点到平面\( \mathbf{P}\)的距离相等,该等价类组成的集合并不是一个群,从几何上看是一个平行于\(\mathbf{P}\)的平面,更专业的说法,该集合是一个仿射子空间(affine subspace),也是平面\(\mathbf{P}\)的陪集\(\vec{a}\mathbf{P}\)(注:左右陪集相等,因为是阿贝尔群)。

基于上面的实例,抽象出来我们可以给出更标准的说法:\(H\)是群\(G\)的一个子群,对于\(a, b \in G\),规定$$ a \sim b \quad: \Longleftrightarrow \quad b^{-1} a \in H $$即在给定\(H\)和\(G\)的前提下,我们说两个元素\(a\)和\( b\)是等价的,即满足\(\sim\)二元关系,实际上就是说\(b^{-1} a \in H\)。\(a\)确定的等价类\(\bar{a}\)为$$ \begin{aligned} \bar{a} & =\left\{x \in G \mid a^{-1} x \in H\right\} \\ & =\left\{x \in G \mid a^{-1} x=h, h \in H\right\} \\ & =\{x \in G \mid x=a h, h \in H\} \\ & =\{a h \mid h \in H\} \\ & =: a H \end{aligned} $$记为\( aH\),把\( aH\)称为以\(a\)为代表的\(H\)的左陪集

设\(H\)是群\(G\)的一个子群, 则:
(1) \(e H=H\),因此子群\(H\)本身是\(H\)的一个左陪集;
(2) \(a H=b H \Longleftrightarrow b^{-1} a \in H\);
(3) 任意\(a H\)与\(b H\)或者相等,或者不相交(即它们的交集是空集);
(4) \(H\)的所有左陪集组成的集合是\(G\)的一个划分,记作\((G / H)_l\),称它是\(G\)关于\(H\)的左商集。\((G / H)_l\)的基数称为子群\(H\) 在 \(G\)中的指数,,记作\([G: H]\)。
如果\([G: H]=r\),那么\(G=eH \bigcup a_1 H \bigcup \cdots \bigcup a_{r-1} H\),这些左陪集两两不相交,该等式称为群\(G\)关于子群\(H\)的左陪集分解式。子群\(H\)和其任一左陪集\(aH\)之间有一个双射\(h \mapsto a h\),因此左陪集分解式中各个左陪集中元素个数(阶)相等,于是得到下面的著名定理:

拉格朗日定理:设\(G\)是有限群,\(H\)是\(G\)的任一子群,则$$ |G|=|H|[G: H] $$从而\(G\)的任一子群的阶是\(G\)的阶的因数。

Leave a Reply