抽象代数基础

交换/结合/分配律

交换律(Commutative property ):是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立,则称这两个元素为在此运算下是”可交换”的。

  • 在集合\(S\)的一个二元运算 \(*\) 被称之为”可交换”的,若\(\forall x, y \in S, x * y=y * x\);
  • 若称\(x \)在 \(*\) 下和\(y\)可交换,即表示\(x* y=y * x\);
  • 二元函数\(f: A \times A \rightarrow B\)被称之为可交换的,若\(\forall x, y \in A, f(x, y)=f(y, x)\)。此函数图像会对\(y=x\)对称。

可交换的例子

  • 实数的加法、乘法,复数的乘法;
  • 更广义地说,在一个域中,加法和乘法都是可交换的;
  • 集合的交集与并集、”与”和”或”的可交换的逻辑运算;
  • 加法在每个向量空间和每个代数中都是可交换的;
  • 阿贝尔群的群运算;
  • 域的加法与乘法都是可交换的;
  • 交换环是一个乘法为可交换的环。

不可交换的例子

  • 洗衣和干衣;
  • 计算机中的字符串的串接(Concatenation,将字串连在一起的行为)是个不可交换的运算。
  • 魔方的扭转是不可交换的,这些扭转被用于研究群论;
  • 减法不可交换,但是可以将减法符号看作是加上其相反数,如此就可以使用交换律;
  • 除法不可交换,但是可以将除法转换成乘以其倒数,如此就可以使用交换律;
  • 矩阵的乘法不可交换;
  • 求幂运算;
  • 从实数到实数的线性函数的函数组合几乎总是不可交换的,比如让\(f(x)=2 x+1\)和\(g(x)=3 x+7\)

反交换(anticommutative)的例子

  • 减法运算;
  • 两个

 

 

运算

代数系统= 非空集合 +运算

运算(Operation):设\(A\),\(B\),\(C\)为三个非空集合,映射\(f: A \times B \rightarrow C\)就称为\(A\)与\(B\)到\(C\)的运算。

  • 有的情况下运算不具有可交换性,即\(A \times B\)和\(B \times A\)不等价,比如笛卡尔积,矩阵相乘等等。
  • 如果\(A\),\(B\),\(C\)为三个非空集合是同一个集合,都用\( A\)来表示,那么映射\(f: A \times A \rightarrow A\)称为\(A\)上的二元运算(Binary operation)。给定\(a, b \in A\),则运算结果\(f(a, b) \in A\)。
  • 如果说二元运算,那么默认其对所定义的集合具有封闭性(closure);如果只是说运算,那么就没有这种默认。比如在定义群的时候,我们如果一上来就说是二元运算,那么我们就不再赘述封闭性。
  • 符号表示:\(f(a, b)\)的运算,等价地表示为\(a \diamond b\),即此处用【连接符】表示运算,更复杂的比如\(f(f(c, f(a, b)), d)=(c \diamond(a \diamond b)) \diamond d\)。这样的好处是使得表示起来更简单,也有助于发现运算的规律。有序对\((A, \odot)\)表示定义在集合\(A\)上的\(\odot\)运算。

闭包

xx

参考资料:
(1) 二元运算、等价关系和分划、同余关系—知乎

单子

 

Leave a Reply