我们高数学的都是黎曼积分。黎曼积分仅仅适用于连续或者几乎处处连续的函数的积分，但是许多函数并不满足上述性质。比如狄利克雷函数，其在定义域上是处处不连续的，无法进行黎曼积分。

黎曼积分：黎曼积分的思想是分割积分区间，用一个个小的矩形去近似不规则图形的面积，但是我们在画矩形的时候，由于两侧端点对应的函数值往往不相等，所以我们既可以选择那个较大的矩形，也可以选择较小的那个矩形，只有在这两种情况下得到的面积相等，这个函数才是黎曼可积的。

根据上面的说法，为了使函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上黎曼可积，在划分\([a,b]\)后，\(f(x)\)在每个小区间上的振幅必须足够小，因此许多激烈振荡的函数都不是黎曼可积。此外在涉及函数列时，黎曼积分的表现也不尽如人意，比如黎曼可积函数\(f(x)\)的\(1/n \)次方，它的极限函数是狄利克雷函数。

狄利克雷函数：是一个定义在实数范围上、值域为\(\{0,1\}\)的函数，用\(D(x)\)或者\(\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\)表示：
(\(\mathbb{Q}\)表示实数，对应于单词quotient)$$\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)= \begin{cases}1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}$$狄利克雷函数也可以表达为一个连续函数序列的双重点极限：(其中\(k\)和\(j\)是整数)$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad D(x)=\displaystyle\lim _{k \rightarrow \infty}\left(\displaystyle\lim _{j \rightarrow \infty}(\cos (k ! \pi x))^{2 j}\right)$$

狄利克雷函数的性质：
(1) 定义在整个数轴上；
(2) 无法画出图像；
(3) 以任何正有理数为其周期(从而无最小正周期)；
(4) 处处无极限、不连续、不可导；
(5) 在任何有界区间上黎曼不可积，另一方面也作为反例说明了对于黎曼积分，单调收敛定理不成立；
(6) 是偶函数；
(7) 它在\([0,1] \)上勒贝格可积。

黎曼积分的理论的研究对象限定于定义在一段区间上“基本”连续的函数，而且在极限与积分交换次序时有严格复杂的限制。

实变函数论的核心是勒贝格积分，这种建立在集合论和测度论之上的新积分方法解决了黎曼积分的缺陷，并将研究对象拓展到可测集合上的可测函数。

此外，测度论的建立还引入了一种广泛使用的新术语—几乎处处(a.e)

参考资料：
(1) 初探实变—b站
(2) 狄利克雷函数(Dirichlet Function)有什么用处？