https://zhuanlan.zhihu.com/p/123055646

https://zhuanlan.zhihu.com/p/54516805

视频

椭圆和圆是同胚的，数字8和B是同胚的，带手柄的杯子和甜甜圈是同胚的，都可以通过连续变化转化成对方。同胚给人们提供了透过现象看本质的思考方式。

4. 拓扑空间

欧几里得几何学需要内积，但连续的概念不需要内积，甚至不需要距离。例如：社交圈的描述；学号的指定是“连续”的。

仔细考察连续的概念，其实它需要的是开集。
$\mathrm{\forall }\epsilon >0$, $\mathrm{\exists }\delta >0$, $(|x-x_0|<\delta )\Rightarrow (|f(x)-f\left(x_0\right)|<\epsilon )$

记$x_0\in D\subset \mathbf{R}$，$$\begin{array}{rl}& O(x_0,\delta )=\{x;|x-x_0|<\delta \}\\ & O(f\left(x_0\right),\epsilon )=\{y;|y-f\left(x_0\right)|<\epsilon \}\end{array}$$那么可定义连续为：$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0\\ & f(O(x_0,\delta )\cap D)\subset O(f\left(x_0\right),\epsilon )\end{array}$$即，用开集可以定义连续。

设$X$是任一集合$\tau \in 2^X$，若满足：
(1) $\tau$内任意个集合的并仍属于$\tau$；
(2) $\tau$内有限个集合的交集=仍属于$\tau$；
(3) $X$和空集仍属于$\tau$。
则称$\tau$是$X$上的一个拓扑，称$(X,\tau )$为拓扑空间

参考资料：
1. 内积、点积、数量积有何区别？— 知乎
2. “拓扑”到底是什么?—搜狐
(3) 拓扑序：看世界的一种新视角 | 众妙之门—返朴