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椭圆和圆是同胚的，数字8和B是同胚的，带手柄的杯子和甜甜圈是同胚的，都可以通过连续变化转化成对方。同胚给人们提供了透过现象看本质的思考方式。
4. 拓扑空间
欧几里得几何学需要内积，但连续的概念不需要内积，甚至不需要距离。例如：社交圈的描述；学号的指定是“连续”的。
仔细考察连续的概念，其实它需要的是开集。
\( \forall \varepsilon>0\), \( \exists \delta>0\), \(\left(\left|x-x_{0}\right|<\delta\right) \Rightarrow\left(\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon\right)\)
记\(x_{0} \in D \subset \mathbf{R}\)，$$\begin{aligned} &O\left(x_{0}, \delta\right)=\left\{x ;\left|x-x_{0}\right|<\delta\right\} \\ &O\left(f\left(x_{0}\right), \varepsilon\right)=\left\{y ;\left|y-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon\right\} \end{aligned}$$那么可定义连续为：$$\begin{aligned} &\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 \\ &f\left(O\left(x_{0}, \delta\right) \cap D\right) \subset O\left(f\left(x_{0}\right), \varepsilon\right) \end{aligned}$$即，用开集可以定义连续。
设\(X\)是任一集合\(\tau \in 2^{X}\)，若满足：
(1) \(\tau\)内任意个集合的并仍属于\(\tau\)；
(2) \(\tau\)内有限个集合的交集=仍属于\(\tau\)；
(3) \(X\)和空集仍属于\(\tau\)。
则称\(\tau\)是\(X\)上的一个拓扑，称\((X, \tau)\)为拓扑空间
参考资料：
1. 内积、点积、数量积有何区别？— 知乎
2. “拓扑”到底是什么?—搜狐
(3) 拓扑序：看世界的一种新视角 | 众妙之门—返朴