矢量分析
三重积(混合积)
平行六面体的体积可以表示为
梯度
温度
(1) 梯度
(2)
(3) 一个点梯度为零的意义:移动一点点,
散度
旋度
梯度/散度/旋度的积规则二阶微分
(1) 梯度的散度:
(2) 梯度的旋度:
(3) 散度的梯度:
(4) 旋度的散度:
(5) 旋度的旋度:
讨论:
(1)
(3)
(4)
形象上理解,想想一下磁偶极子,一圈电流环路上套着很多磁场的小环,因为电流产生的磁场是有旋场,而磁场的旋度正好对应电流。如果我们先对磁场作一个旋度,那么得到的就是电流,而这个电流和这里的磁场环一样,都是没有源的,找不到“头”和“尾”,因此再对电流做散度,结果为零。
(5)
注:这一条结合我们先前
(6) 思考:我们上面提到了不仅可以将拉普拉斯算子作用在标量上,也可以将这个算子作用在矢量上。拉普拉斯算子作用在标量上,最终得到的是一个标量;我们可以将原始的标量看作是零阶张量,然后求梯度,相当于升阶到一阶张量(向量),然后求散度,相当于降阶到零阶张量,即最终结果同样是标量。拉普拉斯算子作用在矢量上,同样地,先是对矢量求梯度,那么升阶到二阶张量,然后求散度,降阶到一阶张量。其实拉普拉斯算子无论是作用在标量还是矢量上,作用过程都是先升阶再降阶,于是最终结果的阶数和原始数据的阶数是一致的。
综上:真正有用的是拉普拉斯(梯度的散度)和散度的梯度(很少用)。
微分性:不可以随便移动位置,并且它如果作用在两个量的组合上,那么它就要分别作用到两个量上(类似求导)。
矢量性:它是一个矢量,不能像常数那样随意提前提后,要有一定的规律,这个规律包括:
(1) 点乘叉乘是矢量与矢量之间的运算,而微分算符只能作用到标量上
(2) 混合积的轮转公式和三重积公式
梯度的基本定理
几何解释:假设你想测量埃菲尔铁塔的高度。你可以攀限塔梯,用一把尺子测量每一阶梯的高度,然 后把它们加在一起,或者你可以用一个测高仪测量塔顶和塔底的读数,然后把 两个读数相减 ;两种方法的结果应该一样(这就是基本定理)。
散度的基本定理旋度的基本定理
传统分部积分延伸到矢量微积分
传统的分部积分
极坐标系
球坐标系(参考知乎)也可以通过类似极坐标的处理方法,我们有
用矩阵表示为
直角坐标的全微分
柱坐标系
狄拉克函数
具体描述:一个物体,除了某个质点外,密度处处为零,这个质点的密度是无限大,但是对这个物体的进行密度积分则是有限的,为这个物体的质量。
例子:矢量函数
两种图形化理解摘出特定函数值的性质:
三维
矢量场理论
亥姆霍兹定理
讨论的问题是,如果一个向量场的散度和旋度都确定了,那么这个向量场是否是唯一的。参考这里
势函数