复旦大学-电动力学-备份

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矢量分析

三重积(混合积)
平行六面体的体积可以表示为A(B×C)=B(C×A)=C(A×B)负号的三重积A(C×B)=B(A×C)=C(B×A)混合积的行列式计算法A(B×C)=|AxAyAzBxByBzCxCyCz|混合积的可交换性A(B×C)=(A×B)C矢量三重积A×(B×C)=B(AC)C(AB)(A×B)×C=C×(A×B)=A(BC)+B(AC)单位方向矢量r^=rr=xx^+yy^+zz^x2+y2+z2三维向量绕着x轴旋转的线性变换(A¯yA¯z)=(cosϕsinϕsinϕcosϕ)(AyAz)绕任意轴旋转的线性变换(A¯xA¯yA¯z)=(RxxRxyRxzRyxRyyRyzRzxRzyRxz)(AxAyAz)

梯度

温度T(x,y,z)的偏导数为dT=(Tx)dx+(Ty)dy+(Tz)dz写成点积的形式dT=(Txx^+Tyy^+Tzz^)(dxx^+dyy^+dzz^)=(T)(dl)梯度具有大小和方向,为了进行几何解释,可以写成dT=Tdl=|T||dl|cosθ|dl|固定时,只有当Tdl方向相同时,dT的变化才最大。

(1)  梯度T所指方向是函数T 有最大增加的方向

(2)  |T|给出沿这个最大增加方向的增率(增加速率)

(3)  一个点梯度为零的意义:移动一点点,dT=0,一阶近似的系数为零。

算子T=(x^x+y^y+z^z)T

v=(x^x+y^y+z^z)(vxx^+vyy^+vzz^)=vxx+vyy+vzz
散度

v=(x^x+y^y+z^z)(vxx^+vyy^+vzz^)=vxx+vyy+vzz

旋度
×v=|x^y^z^/x/y/zvxvyvz|=x^(vzyvyz)+y^(vxzvzx)+z^(vyxvxy)

梯度/散度/旋度的积规则二阶微分
(1)  梯度的散度:(T)
(2)  梯度的旋度:×(T)
(3)  散度的梯度:(v)
(4)  旋度的散度:(×v)
(5)  旋度的旋度:×(×v)

讨论:
(1)  (T)简写为2T,称为T的拉普拉斯;矢量的拉普拉斯2v2v(2vx)x^+(2vy)y^+(2vz)z^(2)  梯度的旋度总是零×(T)=0对势函数求梯度,然后再求旋度,可以理解为既要沿着一个方向走,又要沿着这个方向的垂直方向走,结果就是动不了了。
(3)  (v)物理上用得很少,注意它不是矢量的拉普拉斯。
(4)  (×v)=0,证明见视频
形象上理解,想想一下磁偶极子,一圈电流环路上套着很多磁场的小环,因为电流产生的磁场是有旋场,而磁场的旋度正好对应电流。如果我们先对磁场作一个旋度,那么得到的就是电流,而这个电流和这里的磁场环一样,都是没有源的,找不到“头”和“尾”,因此再对电流做散度,结果为零。

(5)  ×(×v)=(v)2v
注:这一条结合我们先前A×(B×C)=B(AC)C(AB)这个公式很容易推导出来,注意这个公式是老师要求记住的。
(6)  思考:我们上面提到了不仅可以将拉普拉斯算子作用在标量上,也可以将这个算子作用在矢量上。拉普拉斯算子作用在标量上,最终得到的是一个标量;我们可以将原始的标量看作是零阶张量,然后求梯度,相当于升阶到一阶张量(向量),然后求散度,相当于降阶到零阶张量,即最终结果同样是标量。拉普拉斯算子作用在矢量上,同样地,先是对矢量求梯度,那么升阶到二阶张量,然后求散度,降阶到一阶张量。其实拉普拉斯算子无论是作用在标量还是矢量上,作用过程都是先升阶再降阶,于是最终结果的阶数和原始数据的阶数是一致的。

综上:真正有用的是拉普拉斯(梯度的散度)和散度的梯度(很少用)。

算符同时具有矢量性和微分性

算符同时具有微分性和矢量性。
微分性:不可以随便移动位置,并且它如果作用在两个量的组合上,那么它就要分别作用到两个量上(类似求导)。
矢量性:它是一个矢量,不能像常数那样随意提前提后,要有一定的规律,这个规律包括:
(1)  点乘叉乘是矢量与矢量之间的运算,而微分算符只能作用到标量上
(2)  混合积的轮转公式和三重积公式

梯度的基本定理ab(T)dl=T(b)T(a)势函数的梯度的路径积分,和路径无关。
几何解释:假设你想测量埃菲尔铁塔的高度。你可以攀限塔梯,用一把尺子测量每一阶梯的高度,然 后把它们加在一起,或者你可以用一个测高仪测量塔顶和塔底的读数,然后把 两个读数相减 ;两种方法的结果应该一样(这就是基本定理)。

散度的基本定理V(v)dτ=Svda几何解释:如果v代表一个不可压缩流体的流,那么它的通量就是单位时间内流出表面的总的流量。现在散度是矢量从某点“散出”的量度,即一个具有高散度的地方像一个“水龙头”,向外流出液体。如果在一个体积内存在大量的水龙头,那么这个体积边界流出的总通量就等于这些水龙头流出量的和。实际上,我们有两种方法计算总的流出量:(1) 把所有龙头的流出量加在一起;(2) 在边界的每一点测流量,然后相加。旋度的基本定理

传统分部积分延伸到矢量微积分

传统的分部积分abf(dgdx)dx=abg(dfdx)dx+fg|ab借助散度定理,对一个体积有(fA)=f(A)+A(f)进行积分(fA)dτ=f(A)dτ+A(f)dτ=fAdaVf(A)dτ=VA(f)dτ+SfAda

极坐标系

{x=rcosθy=rsinθ,坐标为(r,θ)的任意点的位置矢量为R=rcosθx^+rsinθy^新坐标系的基矢r^=Rr=cosθx^+sinθy^θ^=Rθ1r=sinθx^+cosθy^于是{r^=cosθx^+sinθy^θ^=sinθx^+cosθy^用矩阵的形式表示为[r^θ^]=[cosθsinθsinθcosθ][x^y^]也就是通过矩阵A作用,将原来的直角坐标的基矢量转变成极坐标系下的基矢量。那么通过矩阵A的逆矩阵,也可以将极坐标系下的基矢量转换回去,由于A本身是正交矩阵,所以它的逆矩阵就是它的转置。于是有[x^y^]=[cosθsinθsinθcosθ][r^θ^]注意,变换前后都是模长为一的基矢量,这种变换矩阵并不反映变换前后实际矢量的大小变化。如果我们将{x=rcosθy=rsinθ都写成全微分的形式,那么dx=d(rcosθ)=cosθdr+(rsinθ)dθdy=d(rsinθ)=sinθdr+rcosθdθ,写成矩阵的形式就是[dxdy]=[cosθrsinθsinθrcosθ][drdθ]

球坐标系(参考知乎)也可以通过类似极坐标的处理方法,我们有{x=rsinθcosϕy=rsinθsinϕz=rcosθ那么坐标为(r,θ,ϕ)的任意点的位置矢量为R=rsinθcosϕx^+rsinθsinϕy^+rcosθz^r^=Rr=sinθcosϕx^+sinθsinϕy^+cosθz^θ^=Rθ1r=cosθcosϕx^+cosθsinϕy^sinθz^ϕ^=Rϕ1rsinθ=sinϕx^+cosϕy^注:上式我们根据图,然后投影,再归一化也能得到一样的结果。

用矩阵表示为[r^θ^ϕ^]=[sinθcosϕsinθsinϕcosθcosθcosϕcosθsinϕsinθsinϕcosϕ0][x^y^z^]对线性变换矩阵取逆,那么逆变换为[x^y^z^]=[sinθcosϕcosθcosϕsinϕsinθsinϕcosθsinϕcosϕcosθsinθ0][r^θ^ϕ^]{x^=sinθcosϕr^+cosθcosϕθ^sinϕϕ^y^=sinθsinϕr^+cosθsinϕθ^+cosϕϕ^z^=cosθr^sinθθ^

直角坐标的全微分dl=dxx^+dyy^+dzz^换成球坐标,写成dl=drr^+rdθθ^+rsinθdϕϕ^所以微小体积元dτ=dlrdlθdlϕ=r2sinθdrdθdϕ注:这里表示空间中任意一点,移动dl对应的直角坐标系和求坐标系中的体积变化的比例关系。

柱坐标系

狄拉克函数

具体描述:一个物体,除了某个质点外,密度处处为零,这个质点的密度是无限大,但是对这个物体的进行密度积分则是有限的,为这个物体的质量。

例子:矢量函数v=1r2r^,散度为零(这里用到了前面提到的球坐标系中的散度公式)v=1r2r(r21r2)=1r2r(1)=0选定半径R,利用高斯定理,积分结果不为零vda=(1R2r^)(R2sinθdθdϕr^)=(0πsinθdθ)(02πdϕ)=4π注:实际上所有的贡献都来自r=0的点,该点的散度无穷大,后面会有讨论。

两种图形化理解摘出特定函数值的性质f(x)δ(xa)dx=f(a)总把δ想象成跟在积分符号后面比较容易理解其含义。

三维δ函数δ3(r)=δ(x)δ(y)δ(z)其中rxx^+yy^+zz^整个空间δ3(r)dτ=δ(x)δ(y)δ(z)dxdydz=1推广整个空间 f(r)δ3(ra)dτ=f(a)于是我们再思考前面例子的矛盾之处,散度的正确结果为(r^r2)=4πδ3(r)

矢量场理论

亥姆霍兹定理
讨论的问题是,如果一个向量场的散度和旋度都确定了,那么这个向量场是否是唯一的。参考这里

势函数

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