视频    复旦讲义    格里菲斯电动力学笔记

矢量分析

三重积(混合积)
平行六面体的体积可以表示为$$A\cdot (B\times C)=B\cdot (C\times A)=C\cdot (A\times B)$$负号的三重积$$A\cdot (C\times B)=B\cdot (A\times C)=C\cdot (B\times A)$$混合积的行列式计算法$$\mathit{A}\cdot (\mathit{B}\times \mathit{C})=\left|\begin{array}{lll}{A}_x& A_y& A_z\\ B_x& B_y& B_z\\ C_x& C_y& C_z\end{array}\right|$$混合积的可交换性$$A\cdot (B\times C)=(A\times B)\cdot C$$矢量三重积$$\begin{gathered} A\times (B\times C)=B(A\cdot C)-C(A\cdot B) \\ (\mathit{A}\times \mathit{B})\times \mathit{C}=-\mathit{C}\times (\mathit{A}\times \mathit{B})=-\mathit{A}(\mathit{B}\cdot \mathit{C})+\mathit{B}(\mathit{A}\cdot \mathit{C}) \end{gathered}$$单位方向矢量$$\hat{r}=\frac{r}{r}=\frac{x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$三维向量绕着$x$轴旋转的线性变换$$\left(\begin{array}{l}{\overline{A}}_y\\ {\overline{A}}_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & \sin \varphi \\ -\sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{A}_y\\ A_z\end{array}\right)$$绕任意轴旋转的线性变换$$\left(\begin{array}{l}{\overline{A}}_x\\ {\overline{A}}_y\\ {\overline{A}}_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}{R}_{xx}& R_{xy}& R_{xz}\\ R_{yx}& R_{yy}& R_{yz}\\ R_{zx}& R_{zy}& R_{xz}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{A}_x\\ A_y\\ A_z\end{array}\right)$$

梯度

温度$T(x,y,z)$的偏导数为$$\mathrm{d}T=\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)\mathrm{d}x+\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)\mathrm{d}y+\left(\frac{\partial T}{\partial z}\right)\mathrm{d}z$$写成点积的形式$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}T& =(\frac{\partial T}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial T}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial T}{\partial z}\hat{z})\cdot (\mathrm{d}x\hat{x}+\mathrm{d}y\hat{y}+\mathrm{d}z\hat{z})\\ & =(\mathrm{\nabla }T)\cdot (\mathrm{d}l)\end{array}$$梯度具有大小和方向，为了进行几何解释，可以写成$$\mathrm{d}T=\mathrm{\nabla }T\cdot \mathrm{d}\mathit{l}=|\mathrm{\nabla }T||\mathrm{d}\mathit{l}|\cos \theta$$当$|\mathrm{d}l|$固定时，只有当$\mathrm{\nabla }T$和$\mathrm{d}\mathit{l}$方向相同时，$\mathrm{d}T$的变化才最大。

(1)  梯度$\mathrm{\nabla }T$所指方向是函数$T$ 有最大增加的方向

(2)  $|\mathrm{\nabla }T|$给出沿这个最大增加方向的增率(增加速率)

(3)  一个点梯度为零的意义：移动一点点，$dT=0$，一阶近似的系数为零。

$\mathrm{\nabla }$算子$$\mathrm{\nabla }T=(\hat{\mathit{x}}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{\mathit{y}}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial }{\partial z})T$$

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{v}& =(\hat{x}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial }{\partial z})\cdot (v_x\hat{x}+v_y\hat{y}+v_z\hat{z})\\ & =\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}\end{array}$$
散度
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{v}& =(\hat{x}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial }{\partial z})\cdot (v_x\hat{x}+v_y\hat{y}+v_z\hat{z})\\ & =\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}\end{array}$$

旋度
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }\times \mathit{v}& =\left|\begin{array}{ccc}\hat{\mathit{x}}& \hat{\mathit{y}}& \hat{\mathit{z}}\\ \partial /\partial x& \partial /\partial y& \partial /\partial z\\ v_x& v_y& v_z\end{array}\right|\\ & =\hat{\mathit{x}}(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z})+\hat{\mathit{y}}(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x})+\hat{\mathit{z}}(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y})\end{array}$$

梯度/散度/旋度的积规则二阶微分
(1)  梯度的散度：$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }T)$
(2)  梯度的旋度：$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }T)$
(3)  散度的梯度：$\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{v})$
(4)  旋度的散度：$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathit{v})$
(5)  旋度的旋度：$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \mathit{v})$

讨论：
(1)  $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }T)$简写为${\mathrm{\nabla }}^{2}T$，称为$T$的拉普拉斯；矢量的拉普拉斯${\mathrm{\nabla }}^2\mathit{v}$，$${\mathrm{\nabla }}^2\mathit{v}\equiv \left({\mathrm{\nabla }}^2{v}_x\right)\hat{\mathit{x}}+\left({\mathrm{\nabla }}^2{v}_y\right)\hat{\mathit{y}}+\left({\mathrm{\nabla }}^2{v}_z\right)\hat{\mathit{z}}$$(2)  梯度的旋度总是零$$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }T)=0$$对势函数求梯度，然后再求旋度，可以理解为既要沿着一个方向走，又要沿着这个方向的垂直方向走，结果就是动不了了。
(3)  $\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{v})$物理上用得很少，注意它不是矢量的拉普拉斯。
(4)  $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \mathit{v})=0$，证明见视频
形象上理解，想想一下磁偶极子，一圈电流环路上套着很多磁场的小环，因为电流产生的磁场是有旋场，而磁场的旋度正好对应电流。如果我们先对磁场作一个旋度，那么得到的就是电流，而这个电流和这里的磁场环一样，都是没有源的，找不到“头”和“尾”，因此再对电流做散度，结果为零。

(5)  $\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \mathit{v})=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{v})-{\mathrm{\nabla }}^2\mathit{v}$
注：这一条结合我们先前$A\times (B\times C)=B(A\cdot C)-C(A\cdot B)$这个公式很容易推导出来，注意这个公式是老师要求记住的。
(6)  思考：我们上面提到了不仅可以将拉普拉斯算子作用在标量上，也可以将这个算子作用在矢量上。拉普拉斯算子作用在标量上，最终得到的是一个标量；我们可以将原始的标量看作是零阶张量，然后求梯度，相当于升阶到一阶张量(向量)，然后求散度，相当于降阶到零阶张量，即最终结果同样是标量。拉普拉斯算子作用在矢量上，同样地，先是对矢量求梯度，那么升阶到二阶张量，然后求散度，降阶到一阶张量。其实拉普拉斯算子无论是作用在标量还是矢量上，作用过程都是先升阶再降阶，于是最终结果的阶数和原始数据的阶数是一致的。

综上：真正有用的是拉普拉斯(梯度的散度)和散度的梯度(很少用)。

$\mathrm{\nabla }$算符同时具有矢量性和微分性

$\mathrm{\nabla }$算符同时具有微分性和矢量性。
微分性：不可以随便移动位置，并且它如果作用在两个量的组合上，那么它就要分别作用到两个量上(类似求导)。
矢量性：它是一个矢量，不能像常数那样随意提前提后，要有一定的规律，这个规律包括：
(1)  点乘叉乘是矢量与矢量之间的运算，而微分算符只能作用到标量上
(2)  混合积的轮转公式和三重积公式

梯度的基本定理$${\int }_a^b(\mathrm{\nabla }T)\cdot \mathrm{d}\mathit{l}=T(b)-T(a)$$势函数的梯度的路径积分，和路径无关。
几何解释：假设你想测量埃菲尔铁塔的高度。你可以攀限塔梯，用一把尺子测量每一阶梯的高度，然 后把它们加在一起，或者你可以用一个测高仪测量塔顶和塔底的读数，然后把 两个读数相减 ;两种方法的结果应该一样(这就是基本定理)。

散度的基本定理$${\int }_V(\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{v})\mathrm{d}\tau ={\oint }_S\mathit{v}\cdot \mathrm{d}a$$几何解释：如果$\mathit{v}$代表一个不可压缩流体的流，那么它的通量就是单位时间内流出表面的总的流量。现在散度是矢量从某点“散出”的量度，即一个具有高散度的地方像一个“水龙头”，向外流出液体。如果在一个体积内存在大量的水龙头，那么这个体积边界流出的总通量就等于这些水龙头流出量的和。实际上，我们有两种方法计算总的流出量：(1) 把所有龙头的流出量加在一起；(2) 在边界的每一点测流量，然后相加。旋度的基本定理

传统分部积分延伸到矢量微积分

传统的分部积分${\int }_a^{b}f\left(\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}\right)\mathrm{d}x=-{\int }_a^{b}g\left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right)\mathrm{d}x+{fg|}_a^b$借助散度定理，对一个体积有$$\mathrm{\nabla }\cdot (f\mathit{A})=f(\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{A})+\mathit{A}\cdot (\mathrm{\nabla }f)$$进行积分$$\int \mathrm{\nabla }\cdot (f\mathit{A})\mathrm{d}\mathit{\tau }=\int f(\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{A})\mathrm{d}\tau +\int \mathit{A}\cdot (\mathrm{\nabla }f)\mathrm{d}\tau =\oint f\mathit{A}\cdot \mathrm{d}\mathit{a}$$即$${\int }_{V}f(\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{A})\mathrm{d}\tau =-{\int }_V\mathit{A}\cdot (\mathrm{\nabla }f)\mathrm{d}\tau +{\oint }_{S}f\mathit{A}\cdot \mathrm{d}\mathit{a}$$

极坐标系

$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$，坐标为$(r,\theta )$的任意点的位置矢量为$$\overrightarrow{R}=r\cos \theta \hat{x}+r\sin \theta \hat{y}$$新坐标系的基矢$$\begin{array}{rl}\hat{r}& =\frac{\partial \overrightarrow{R}}{\partial r}=\cos \theta \hat{x}+\sin \theta \hat{y}\\ \hat{\theta }=& \frac{\partial \overrightarrow{R}}{\partial \theta }\frac{1}{r}=-\sin \theta \hat{x}+\cos \theta \hat{y}\end{array}$$于是$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}\hat{r}=\cos \theta \hat{x}+\sin \theta \hat{y}\\ \hat{\theta }=-\sin \theta \hat{x}+\cos \theta \hat{y}\end{array}$$用矩阵的形式表示为$\left[\begin{array}{l}\hat{r}\\ \hat{\theta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\hat{x}\\ \hat{y}\end{array}\right]$也就是通过矩阵$A$作用，将原来的直角坐标的基矢量转变成极坐标系下的基矢量。那么通过矩阵$A$的逆矩阵，也可以将极坐标系下的基矢量转换回去，由于$A$本身是正交矩阵，所以它的逆矩阵就是它的转置。于是有$$\left[\begin{array}{l}\hat{x}\\ \hat{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hat{r}\\ \hat{\theta }\end{array}\right]$$注意，变换前后都是模长为一的基矢量，这种变换矩阵并不反映变换前后实际矢量的大小变化。如果我们将$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$都写成全微分的形式，那么$\begin{array}{l}dx=d(r\cos \theta )=\cos \theta dr+(-r\sin \theta )d\theta \\ dy=d(r\sin \theta )=\sin \theta dr+r\cos \theta d\theta \end{array}$，写成矩阵的形式就是$$\left[\begin{array}{l}dx\\ dy\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}dr\\ d\theta \end{array}\right]$$

球坐标系(参考知乎)也可以通过类似极坐标的处理方法，我们有$\{\begin{array}{l}x=r\sin \theta \cos \varphi \\ y=r\sin \theta \sin \varphi \\ z=r\cos \theta \end{array}$那么坐标为$(r,\theta ,\varphi )$的任意点的位置矢量为$\overrightarrow{R}=r\sin \theta \cos \varphi \hat{x}+r\sin \theta \sin \varphi \hat{y}+r\cos \theta \hat{z}$$$\begin{array}{l}\hat{r}=\frac{\partial \overrightarrow{R}}{\partial r}=\sin \theta \cos \varphi \hat{x}+\sin \theta \sin \varphi \hat{y}+\cos \theta \hat{z}\\ \hat{\theta }=\frac{\partial \overrightarrow{R}}{\partial \theta }\frac{1}{r}=\cos \theta \cos \varphi \hat{x}+\cos \theta \sin \varphi \hat{y}-\sin \theta \hat{z}\\ \hat{\varphi }=\frac{\partial \overrightarrow{R}}{\partial \varphi }\frac{1}{r\sin \theta }=-\sin \varphi \hat{x}+\cos \varphi \hat{y}\end{array}$$注：上式我们根据图，然后投影，再归一化也能得到一样的结果。

用矩阵表示为$$\left[\begin{array}{c}\hat{r}\\ \hat{\theta }\\ \hat{\varphi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \varphi & \sin \theta \sin \varphi & \cos \theta \\ \cos \theta \cos \varphi & \cos \theta \sin \varphi & -\sin \theta \\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hat{x}\\ \hat{y}\\ \hat{z}\end{array}\right]$$对线性变换矩阵取逆，那么逆变换为$$\left[\begin{array}{l}\hat{x}\\ \hat{y}\\ \hat{z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \varphi & \cos \theta \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi & \cos \theta \sin \varphi & \cos \varphi \\ \cos \theta & -\sin \theta & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hat{r}\\ \hat{\theta }\\ \hat{\varphi }\end{array}\right]$$即$\Rightarrow \{\begin{array}{l}\hat{x}=\sin \theta \cos \varphi \hat{r}+\cos \theta \cos \varphi \hat{\theta }-\sin \varphi \hat{\varphi }\\ \hat{y}=\sin \theta \sin \varphi \hat{r}+\cos \theta \sin \varphi \hat{\theta }+\cos \varphi \hat{\varphi }\\ \hat{z}=\cos \theta \hat{r}-\sin \theta \hat{\theta }\end{array}$

直角坐标的全微分$\mathrm{d}\mathit{l}=\mathrm{d}x\hat{\mathit{x}}+\mathrm{d}y\hat{\mathit{y}}+\mathrm{d}z\hat{\mathit{z}}$换成球坐标，写成$$\mathrm{d}\mathit{l}=\mathrm{d}r\hat{\mathit{r}}+r\mathrm{d}\theta \hat{\mathit{\theta }}+r\sin \theta \mathrm{d}\varphi \hat{\mathit{\varphi }}$$所以微小体积元$$\mathrm{d}\tau =\mathrm{d}{l}_r\mathrm{d}{l}_{\theta }\mathrm{d}{l}_{\varphi }=r^2\sin \theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi$$注：这里表示空间中任意一点，移动$\mathrm{d}\mathit{l}$对应的直角坐标系和求坐标系中的体积变化的比例关系。

柱坐标系

狄拉克函数

具体描述：一个物体，除了某个质点外，密度处处为零，这个质点的密度是无限大，但是对这个物体的进行密度积分则是有限的，为这个物体的质量。

例子：矢量函数$\mathit{v}=\frac{1}{r^2}\hat{r}$，散度为零(这里用到了前面提到的球坐标系中的散度公式)$$\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{v}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{1}{r^2}\right)=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(1)=0$$选定半径$R$，利用高斯定理，积分结果不为零$$\begin{array}{l}\oint \mathit{v}\cdot \mathrm{d}\mathit{a}=\int \left(\frac{1}{R^2}\hat{\mathit{r}}\right)\cdot (R^2\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\mathit{\varphi }\hat{\mathit{r}})\\ =({\int }_0^{\pi }\sin \theta \mathrm{d}\theta )\left({\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\mathit{\varphi }\right)=4\pi \end{array}$$注：实际上所有的贡献都来自$r=0$的点，该点的散度无穷大，后面会有讨论。

两种图形化理解摘出特定函数值的性质：$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)\delta (x-a)\mathrm{d}x=f(a)$$总把$\delta$想象成跟在积分符号后面比较容易理解其含义。

三维$\delta$函数$${\delta }^3(\mathit{r})=\delta (x)\delta (y)\delta (z)$$其中$\mathit{r}\equiv x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}$$${\int }_{\text{整个空间}}{\delta }^3(\mathit{r})\mathrm{d}\tau ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x)\delta (y)\delta (z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=1$$推广$${\int }_{\text{整个空间 }}f(\mathit{r}){\delta }^3(\mathit{r}-\mathit{a})\mathrm{d}\tau =f(\mathit{a})$$于是我们再思考前面例子的矛盾之处，散度的正确结果为$$\mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{\hat{\mathit{r}}}{r^2}\right)=4\pi {\delta }^3(\mathit{r})$$

矢量场理论

亥姆霍兹定理
讨论的问题是，如果一个向量场的散度和旋度都确定了，那么这个向量场是否是唯一的。参考这里

势函数