【代数运算】：虑由集合\(S\)的元素形成的有序元素对组成的集合：$$S\times S:=\{(a,b)\mid a,b\in S\}$$称\(S\times S\)是\(S\)与自身的笛卡尔积，那么从\(S\)到\(S\)映射称为\(S\)上的一个代数运算。 【代数系统】：现代数学的一个鲜明特征是研究具有代数运算的集合，称它们为代数系统。 【环】(ring)：一个非空集合\(R\)如果定义了两种代数运算，一种叫做加法，另一种叫做乘法，并且满足\(6\)条运算法则： 加法： 交换律 结合律 有零元素(简称零元) 每个元素有负元素：于是可以用加法来定义减法运算\(a-b:=a+(-b)\) 乘法： 结合律 对于加法的分配律(乘法和加法的桥梁) 环的其他概念： 如果环\(R\)的乘法满足交换律，称其为交换环 如果环\(R\)中一个元素\(e\)满足\(ea=ae=a\)，称该元素为该环的单位元 如果环中元素\(a\)来说，存在换中一个非零元素使得\(ac=0\)或\(ca=0\)，那么称\(a\)是一个左(右)零因子，显然这里\(a=0\)肯定就是该环的零因子，说白了零因子就是可以将一个非零元通过乘法运算变为零元。 有单位元\(e(\neq0)\)的交换环\(R\)如果没有非零的零因子(即任意两个元素相乘不等于零)，那么称\(R\)是一个整环，比如整数集\(\mathbb{Z}\) 环的例子： 整数集\(\mathbb{Z}\) 偶数集\(2\mathbb{Z}\) 实系数一元多项式组成的集合\(\mathbb{R}[x]\) 元素为实数的所有\(n\)阶矩阵组成的集合\(M_n(\mathbb{R})\) 整数集\(\mathbb{Z}\)可以根据星期几，即除以\(7\)的余数来建立一一对应关系\(\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6}\}\)，于是可以实现对整数集的划分。比如星期日是被\(7\)整除的整数组成的子集，记作\(\overline{0}\)。整数\(a\)与\(b\)如果被\(7\)除余数相同，那么称\(a\)与\(b\)模\(7\)同余，记作\(a \equiv b(\bmod7).\overline{0},\overline{1},\cdots,\overline{6}\)都称为模\(7\)剩余类。由这个例子推广到：对于任一大于\(1\)的整数\(m\)，若整数\(a\)与\(b\)被\(m\)除余数相同，则称\(a\)与\(b\)模\(m\)同余，记作\(a\equiv b(\bmod m)\)。对于\(i\in\{0,1,\cdots,m-1\}\),$$\bar{i}:=\{km+i\mid k\in\mathbb{Z}\}$$称为一个模\(m\)剩余类。所有模\(m\)剩余类(共\(m\)个)组成的集合\(\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{m-1}\}\)给出了整数集\(\mathbb{Z}\)的一个划分，记作\(\mathbb{Z}_m\)。在\(\mathbb{Z}_m\)中规定加法和乘法运算如下:$$\bar{a}+\bar{b}:=\overline{a+b},\quad\bar{a}\bar{b}:=\overline{ab}$$可以验证这些规定是合理的。容易验证\(\mathbb{Z}_m\)成为有单位元\(\overline{1}\)的交换环，称它【模\(\boldsymbol{m}\)剩余类环】。 对于\(\mathbb{Z}_8=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6},\overline{7}\}\)的例子，显然\(\bar{2} \bar{4}=\bar{0}\)，这类似线性代数两个不为零的矩阵乘积为零，因此\( (\mathbb{Z}_8\)不是整环。另外\(\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6}\)都是\(\mathbb{Z}_8\)的零因子，剩下的\(\overline{3}, \overline{5}, \overline{7}\)都是\(\mathbb{Z}_8\)的可逆元。 证明：在有单位元的环\( R\)中，零因子一定不是可逆元。 引出【域】(field)的概念：\(\mathbb{Z}_7=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6}\}\)是有单位元的交换环，且里面每一个非零元都可逆。有理数集\( \mathbb{Q}\)，实数集\(\mathbb{R}\)，复数集\(\mathbb{C}\)，都是有单位元\((e\neq 0)\)的交换环，且每个非零元都是可逆元，由此抽象出域的概念：设\(F\)是一个有单位元\(e(\neq 0)\) 的交换环，如果\(F\)中每一个非零元都是可逆元，那么称\(F\)是一个域。这里我们给出\(\mathbb{Z}_7\)的例子是为了说明域不仅仅有我们经常接触到的无限域(有理数/实数/复数)，也可以是由几个元素组成的集合。 \(\mathbb{Z}_m\)…
