磁场和洛伦兹力

希腊人发现Magnesia(地名)的一种石头可以吸引铁，得名磁。奥斯特发现磁针的指向受到电流的影响，他认为电流产生了磁场(电生磁)这一下子将电和磁联系起来，是一个很重要的实验，引发了十九世纪的科学爆炸，以麦克斯韦到达顶峰。磁针受到导线的力，导线其实也受到磁针的力。由于历史的原因，与电场强度\(\mathbf{E}\)对应的描述磁场的基本物理量被称为磁感应强度\(\mathbf{B}\)，而另一辅助量却被称为磁场强度\(\mathbf{H}\)，名实不符，容易混淆。通常所谓磁场，均指的是\(\mathbf{B}\)。

磁场的单位：国际单位中，单位是特斯拉(\(\text{T}\))。在高斯单位制中，磁感应强度的单位是高斯(\(\text{G}\))。\(1 \mathrm{~T}\)是非常强的磁场，因此我们经常用高斯作为单位，高斯与特斯拉换算为 \(1 \mathrm{~T}=10000 \mathrm{G}\)。地球磁场强度大约是半个高斯。

【安培定则】(右手螺旋定则)
该定则是表示电流和电流激发磁场的磁感线方向间关系的定则。
(1) 通电直导线中的安培定则(安培定则一)：用右手握住通电直导线，让大拇指指向直导线中电流方向，那么四指指向就是通电导线周围磁场的方向；
(2) 通电螺线管中的安培定则(安培定则二)：用右手握住通电螺线管，让四指指向电流的方向，那么大拇指所指的那一端是通电螺线管的N极。

【左手定则】
判断通电导线处于磁场中时，所受的安培力方向和磁感应强度、电流方向的关系。磁场线垂直穿过手掌心，手指指向电流方向，左手大拇指的方向即为受到的安培力的方向。其实这里电流方向叉乘磁场强度(右手定则)，得到的也是安培力的方向。

两个同向平行电流的导线相互吸引，反向平行电流的导线相互排斥。两个导线中插入导电铝板对结果没影响，这个和电场不一样。电场可以给运动的电荷做功，但是磁场不会，因为磁场中电荷受力的方向始终垂直于电荷的运动方向。

【洛伦兹力】
$$d\vec{F}=dq(\vec{v}\times\vec{B})=Idt(\frac { d\vec{l} }{ dt } \times\vec{B})=Id\vec{l}\times\vec{B}$$如果想知道整个导线上受到的力，必须沿整个导线积分。如果电荷(通电导线)周围有电场的话，必须计算电场和磁场共同作用的合力，这个才是洛伦兹力。如图是洛伦兹力计算的简化模型。

 

拓展
(1) 电流表也是通电导线在磁场中受力而发生偏转，加弹簧增加返回力矩，做成了电流表。油表，冷却水的温度计都是用电流表制作的。 fuel gauge的工作原理，油箱上面两个杆的交点是固定住的，红色浮标移动带动上杆在可变电阻上滑动，从而使得电流发生变化。

2.洛伦兹力计算的简化模型可以延伸到通电线圈(电动机)，加电流【换向器】(commutator)，做成了【有刷直流电动机】(Brushed DC electric motor)，具体可以看视频-1，视频-2。【无刷电机】可以利用【H桥电路】

 

B场中的运动电荷

【回旋加速器】cyclotron [ˈsaɪklətrɒn] 电场方向在变化，实际上根据狭义相对论，带电粒子的质量随速度的增加而增加，故实际应用中带电粒子的回旋周期并非恒定。A cyclotron consists of two hollow semicircular electrodes, called dees, mounted back to back, separated by a narrow gap, in an evacuated chamber between the poles of a magnet. An electric field, alternating in polarity, is created in the gap by a radio-frequency oscillator.

【同步加速器】synchrotron ['sɪŋkrə(ʊ)trɒn] ，注意二者的区别(磁场的作用都是限制住高能粒子)储存环中弯曲的部分会有许多磁铁设施使粒子束改变运行方向；直线段的部分则设置高频共振腔使用高能量的微波提供粒子加速所需的电场。

将铀加热电离得到带正电的铀离子，然后再让它们利用相同的电势差加速到相同的速度，然后以相同的速度大小和方向射入到磁场中，由于铀235(用于可控核裂变)质量比铀238轻一点，所以偏转半径要小一点，所以利用这个差异可以分离出铀235。这也是【质谱仪】(mass spectrometer)的原理，可以用来分离铀235，二战美国的原子弹就是借用了这个技术。质谱仪目前也被用于和平目的，特别是医疗领域，辐射治疗。病人需要特殊同位素元素的放射，不想其他同位素掺入，可以借用质谱仪。

带电粒子在均匀磁场中的运动，偏转半径\(R=\displaystyle\frac{m v}{q B}\)，接近光速的时候，需要洛伦兹因子修正(参考物理之旅的笔记)

【威尔逊云室】(Wilson cloud chamber)
最简单的云室，只是一个密封的环境，里面充满过饱和的水蒸气或酒精。当一束带电粒子(α粒子或β粒子)与云室内的混合物相互作用时，会将混合物离子化，造成的离子会扮演云凝结核的角色，使离子的周围产生雾气(因为这些混合物刚好正处于凝结点)。带电荷粒子走过的时候，会产生很多离子，所以就留下了它们走过的轨迹。这些轨迹的形状独特(如α粒子的轨迹较阔，显示出碰撞造成的弯转痕迹，β粒子较细与直)。当施加垂直的均匀磁场于云室时，这些带电粒子会偏转，带正电的偏转向一边，带负电的会偏转向另一边，遵守洛仑兹力定律。云室对早期次原子研究是非常重要的，但目前已被其他粒子检测器所取代，例如气泡室。

【气泡室】(bubble chamber)
气泡室运作的原理跟云雾室类似，通常是将一个放满液体(一般是液态氢)的容器，之后把它加热接近到沸点，而当带电粒子经过时就加热液体而产生气泡，它的轨迹就会形成一连串的气泡，当气泡膨胀到可看见的大小时，使用照相机把它摄影下来，就可以得到粒子轨迹的图像，这样可以让气泡室的分辨率达到几微米。整个气泡室都被加以磁场，因此只要看粒子轨迹弯曲的程度就可以知道它的质荷比。下面左图是The decay of a lambda particle in the 32 cm hydrogen bubble chamber。

我们有洛伦兹力，使得粒子转动；我们有电场，能够让粒子加速；还有这些个巧妙的方法，能让他们变得可见，让我们看到单个的粒子。这是一个新世界，这一课的目的就是让你们能够窥见这个使我们思想发生革命的新世界！
注：威尔逊云室和气泡室分别对应两个诺贝尔物理学奖(1927/1960)。

 

毕奥萨伐尔定律

在静磁学中，【毕奥-萨伐尔定律】(Biot-Savart Law)用来描述电流元在空间任意点P处所激发的磁场。电流元\(Idl\)在空间某点P处产生的磁感应强度\(dB\)的大小与电流元\(Idl\)的大小成正比，与电流元\(Idl\)所在处到P点的位置矢量和电流元\(Idl\)之间的夹角的正弦成正比， 而与电流元\(Idl\)到P点的距离的平方成反比。

毕奥-萨伐尔定律适用于计算一个稳定电流所产生的磁场。电流量不随时间而改变，电荷不会在任意位置累积或消失。$$ \mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{C} \frac{I d \boldsymbol{\ell} \times \mathbf{r}^{\prime}}{\left|\mathbf{r}^{\prime}\right|^{3}}$$

再谈平方反比——要认识到平方反比定律在很多地方的普适性，比如点光的强度也是距离平方反比，万有引力的大小和两个物体之间距离的平方成反比(牛顿是第一个提出重力场的平方反比定律的)，电单极子的电场强度也和距离的平方成反比。类比的话，如果存在磁单极子，那么周围的磁场强度也会和距离的平方成反比，虽然实际上磁单极子不存在(理论上存在，但是实际上没有被发现，参见磁单极子失踪之谜)。正是因为平方反比定律的存在，那么在沿着直导线积分的话，平方反比就会变成反比\(\displaystyle\int { \displaystyle \frac { 1 }{ { R }^{ 2 } } dl= } \displaystyle \frac { 1 }{ R } \)，也就得到长直导线周围的电场强度以及磁场强度都和距离成反比。$$d\overrightarrow{ B}=\frac{C I}{r^2}(d \vec{l} \times \hat{\mathbf{r}})$$小电流元 \(d\vec { l }\) 对一点处的磁场的微小贡献为\(d\vec {B }\)，距离为\(r\) 。\(d\vec {B }\) 的大小与 \(I\) 成正比，与\(d\vec { l } \times \hat{\mathbf{r}}\)成正比(\(\hat{\mathbf{r}}  \)是表示方向的单位向量)，与\( r^2\)成反比，比例系数为\( \displaystyle \frac{\mu_{0}}{4 \pi} =C=10^{-7}\)，其中\(\mu_{0}\)叫【真空磁导率】(Vacuum permeability，\( \mathbf{B}=\mu_{0} \mathbf{H}\))。

真空磁导率\(\mu_{0}\)拓展：
(1)大小
\( \mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}=1.2566370614 \ldots \times 10^{-6} \mathrm{~N} / \mathrm{A}^{2}\)，其中\(\mathrm{H} \)为电感的单位亨利。
(2)它是一物理常数，指真空中的磁导率。实验测得这个数值是一个普适的常数，联系着力学和电磁学的测量。真空磁导率是由运动中的带电粒子或电流产生磁场的公式中产生，也出现在其他真空中产生磁场的公式中。
(3) 二条细长的、直的、静止的平行导线，在自由空间中距离为\(r\)，上面带有\(I\)的电流，彼此之间会产生作用力。依安培定律，单位长度下的受力为\( \left|\boldsymbol{F}_{m}\right|=\displaystyle\frac{\mu_{0}}{2 \pi} \frac{|\boldsymbol{I}|^{2}}{|\boldsymbol{r}|}\)，即可算出真空磁导率的大小。

封闭圆形环路导电线圈中心磁场强度：电流取\(100\text{A}\)，半径取\(0.1\text{m} \)，得到中心处的磁场强度为\(6\)高斯。$$ B=\int d \vec{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{R^2} 2 \pi R=\frac{\mu_0 I}{2 R} $$无限长直导线距离为\(R\)处的磁场强度：如果是长直导线，周围的磁场强度和封闭圆形环路差了一个\(\pi\)$$B=\frac { \mu _{ 0 }I }{ 2\pi R } $$计算过程如下(也参考赵凯华-电磁学或Nap博客)：利用毕奥萨法尔定律，可得每段微小单元\(dl\)在\(r\)点产生磁场的大小，然后对整段长度积分，可得$$ B=\int \frac{\mu_0 I \sin (\theta)}{4 \pi r^2} d l $$而根据三角函数关系，又可以得到\(d l=d(R \cot (\theta)) \quad R=r \sin (\theta)\)，带入即可求解。对于长直导线，电流\(100\text{A}\)，那么在距离为\(10 \text{cm}\)附近的磁场强度只有大约\(2\)个高斯，而地球磁场就有半个高斯，所以可以说，磁场强度是很弱的，即使在很大的电流值下。一米之外，磁场就更若了。用类似的方法，也可求解均匀带电细棒中垂面上的场强分布。

电偶极子和磁偶极子类比
如果不看磁偶极子N和S之间以及近邻的磁场，不看电偶极子正负电荷之间以及近邻的电场，看远处的话，会发现磁场和电场的分布是很相似的。永磁体是由微观原子磁偶极子组成的宏观磁偶极子。
【高斯磁定律】(Gauss's law for magnetism)$$ \oint \vec{B} \cdot d \vec{A}=0 \quad \text { closed surface,no Magnetic monopoles } $$闭合曲面对\(\vec{B} \cdot d\vec{A}\)做积分，结果总是\(0\)(麦克斯韦第二方程)，即【磁通量】Magnetic flux\(\Phi_B=\displaystyle\oint \vec{B} \cdot d \vec{A}\)始终是\(0  \)，因为不存在磁单极子。有些学者喜欢用"自由磁单极子缺失"而不是高斯磁定律来描述这一定律。注意这里的积分面积是一个封闭的曲面(closed surface)，比如一个球面，球里面不可能有磁单极子，所以有多少磁力线从球里面出来，就有多少磁力线从外面进入球里，也就是进出的磁力线的净和是\(0\)。

安培环路定律

 

安培(A)的定义(题外话)
安培是若两条无限长的平行导线，截面积可忽略，在真空中距离一米远，若两者都流相同大小的等电流，且每米导线的受力为\(2\times 10^{-7}\)牛顿时，导线上电流的大小。

【安培环路定律】(Ampère's circuital law)：可由毕奥-萨伐尔定律和磁场的叠加性证明，这其实是一个计算"环量"的公式，如果这个环无限小，那么得到的就是磁场的"旋度"，那么就可以改写成微分形式(下标enc表示闭合回路\(\mathbb{C}\)围住enclose的电流)$$\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\ell}=\mu_{0} I_{\mathrm{enc}}$$

被闭合回路包围的电流(电流penetrate open surface)，沿任意回路对磁场的积分大小与电流成正比。另外我们先回忆一下斯托克斯定理：对于任意向量场\(\mathbf{F}\)$$ \int_{\mathbb{S}} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{a}=\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} $$所以安培环路定理还可以写成\(\displaystyle\int_{\mathbb{S}} \nabla \times \mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{a}=\mu_0 I_{\mathrm{enc}}\)，以及\(\nabla \times \mathbf{B}=\mu_0 \mathbf{J}_{\mathrm{enc}}\)。

注：这里我们可以将高斯定律和安培定律进行对比，我们最开始探讨的是高斯定律最特殊(简单)的情况，即对点电荷产生的球形封闭曲面上通过的电通量进行积分(电场强度处处相等，而且和积分面积元垂直)，然后推广到一般情况，而安培定律也可以从最特殊(简单)的情形开始，即磁场沿着无限长直导线(电流I)距离R处的某一封闭环形圆积分(磁感应强度处处相等，而且和积分路径元同向)，然后推广到一般情况也成立。

长直导线周围磁场变化
假设电流是在导线截面上均匀分布的，实际上不是这样的，和电场分布很类似。

【螺线管】(solenoid)如果只有一圈，那么磁场会diverge(发散)；随着缠绕的线圈(windings)数增多，发散的磁场线会越来越收缩，相当于把磁力线掰正。单位长度上缠绕的线圈数越多，那么导电螺线管内部的磁场就越“直”，而且也越强，同时也非常接近恒定的磁场。注意是单位长度上缠绕的线圈数，而不是总的线圈数。如果螺线管的半径要远小于螺线管的长度，那么可以认为螺线管外的磁场强度很小，几乎可以忽略。求解螺线管中的磁场：(\(2\)这一段磁场很小，忽略不计，\(1\)和\(3\)的方向都是和内部磁场的方向垂直的，所以和磁场的内积为\(0\)，故只考虑\(4\)这一段)$$Bl=\frac { l }{ L } N{ \mu }_{ 0 }I\Rightarrow B=\frac { N{ \mu }_{ 0 }I }{ L } \left( L\gg R \right) $$

 

电磁感应

奥斯特发现稳定的电流产生稳定的磁场，于是法拉第猜想稳定的磁场周围也可能产生稳定的电场。法拉第并没有发现在稳定的磁场中产生稳定的电场，但是他发现在打开和闭合含有螺线管的简单电路的过程中，套在螺线管上外面的环路中出现电流，于是他总结说变化的磁场产生电流，这种现象就是电磁感应。

法拉第的数学不好，提出了场的概念，电场线。他用场替代了超距力。他提出带电体发生变化不能瞬间改变周围的场，也就是说场的改变是需要一定时间(和水波的类比)。似乎预言了电磁波。电流和流体。参考《法拉第的故事》

【楞次定律】
物理中最具人性的定律，因为我们都有惯性，我们在一定程度上都拒绝改变。类似地，比如电介质，本来内部没有电场，一旦把电介质放在电场中，那么会出现电介质内部的感应电场，感应电场使得电介质内部的净电场强度低于外部电场的强度；或者电感阻碍电流的变化。楞次定律总是能帮助你找到正确的感生电动势(磁场大小随时间变化)的方向，虽然数学上的表达式容易有点糊涂。关于惯性，质量也是惯性相关，还有转动惯量(一个物体对于其旋转运动的惯性大小的量度)，勒夏特列原理。楞次定律示意图(注意电流方向，产生感生电流，抗拒磁通量的改变)

【法拉第电磁感应定律】(Faraday's law of induction)$$\mathcal{E}=-\frac{d \Phi_{B}}{d t}$$任何封闭电路中感应电动势大小，等于穿过这一电路磁通量的变化率。此定律常直接简称为“法拉第定律”，是电磁学的一条基本定律，也是变压器、电感元件及多种电动机、发电机、螺线管的根本运作原理。

进一步地，变化中的磁场会生成电场，这个现象由【麦克斯韦-法拉第方程】描述，其积分形式为$$ \oint \vec{E} \cdot d \vec{l}=-\frac{d}{d t} \int \vec{B} \cdot d \vec{A}  $$上述公式可以参考塑料袋的例子，也就是说沿着袋子口closed loop的电场和路径积分的值(感应电动势)，等于磁通量随时间的变化(注意这里磁通量的积分面积是一个open surface，也就是包含垃圾袋实体的表面。)

KVL与法拉第电磁感应定律
法拉第电磁感应定律不是很直观，基尔霍夫定律很直观，但是KVL只有在电路环路没有磁通量变化的时候才成立；如果有磁通量变化，那么环路中的电场就变成了非保守场，也就是说KVL只有在保守电场的情况下才成立。比如如果感应线圈绕着螺线管(螺线管磁场变化)的圈数不同，按照KVL积分得到的值也是不同的，也就是说缠绕的方式改变了积分路径，也就改变了最终的结果，这就是法拉第定律的不直观的地方。

【保守力】(Conservative force)做功与路径无关，由此可以定义某一个势函数，力对应势的梯度。这个特征就决定了，保守力场是无旋场，常见的有弹力、重力、静电场力。【非保守力】(Non-Conservative force)做功依赖于路径，如很多耗散力。

静电场是个保守场：

• 沿着电场中一个闭合回路积分等于零；
• 做功与路径无关，两点之间的电势差唯一确定；
• 环路中没有磁通量的变化；
• 基尔霍夫电压定律KVL，适用。(The algebraic sum of all voltage around the closed loop must be always zero.)

变化的磁通会让导线内部的电场变成非保守的，此时KVL不再适用，比如下面诡异的测量实验

左图：没有常规的电源，而是中间有一个通电的螺线管，而且螺线管的电流是随着时间变化的，那么必然在回路中产生感生电动势，假设某一瞬间感应电动势大小是\( 1 \mathrm{V} \)，左边的电压变测定是\(-0.1 \mathrm{V}  \)，右边测得\(  0.9 \mathrm{V}\)。我们感觉违反直觉的原因在于我们不知道如何处理非保守场，在非保守场下，基尔霍夫定律是不成立的，两点之间的电势差是不定的，取决于你走的路，所以才会出现我们一开始看到的\(-0.1 \mathrm{V}  \)和\(  0.9 \mathrm{V}\)这样的情况。法拉第电磁感应定律的不需要要求是保守场或者非保守场。

右图：两个电压表示数相同。

拓展资料：
(1) 现在《电路分析》中，《电路(第五版)》(邱关源)中对KVL的定义是“在集总电路中，任何时刻，沿任一回路所有支路电压的代数和恒等于零”(P31)。分析的是集总参数电路，指分析电感和电容之类的元件时，要把她们当成集总电路元件，把元件的场固定在那个元件之内，不泄露到外面出去，这样我们就可以方便地计算各个元件两侧的电压，这使得KVL在各个场合下都可以使用。 此时，元件内部和外部的物理性质就可以单独分析。 而Walter Lewin做的实验，就是【非集总电路】(非Lumped-element model)，通电螺线管产生的变化磁场影响到周围的元件和导线。使得电路分析变得复杂。 解决方式就是等效成集总电路，把等效电阻/等效电感/等效电容单独拿出来分析。
(2) ElectroBOOM整流侠总结视频
(3) 这个简单的中学实验让MIT物理系教授怀疑人生，看懂后新世界的大门打开了—环球物理

 

电动势的产生与涡电流

电动势(electromotive force, EMF)

• 【感生电动势】(induced EMF)，感生电动势的产生是因为磁场随着时间而改变
• 【动生电动势】(motional EMF)，动生电动势的产生是因为导线在磁场中移动。
• 【磁通量】(Magnetic flux)，是open surface的积分，\(\Phi_B=\displaystyle\int \vec{B} \cdot d \vec{A}\)

磁通量可以通过变化磁场强度/变化磁场穿过的面积/变化磁场和open surface之间的角度，这三种方法中的任意一种来实现磁通量的变化。$$ \begin{aligned} &\Phi_B=A B \cos (\omega t) \\ &-\frac{d \Phi_B}{d t}=A B \omega \sin (\omega t)=\varepsilon(t) \\ &I(t)=\frac{\varepsilon(t)}{R} \end{aligned} $$教授从欧洲买来了record player(电唱机)，工作电压是\( 220 \mathrm{V} \)，\( 50 \mathrm{HZ} \)，他拿到美国用，通过转换器将美国的\( 110 \mathrm{V} \)电压变成\( 220 \mathrm{V} \)，但是美国交流电的频率是\( 60 \mathrm{HZ} \)，所以电唱机的运转速度加快了\(  20 \%\)。

根据磁通量的变化率很容易知道电动势\(\varepsilon=l v B\)；导杆受到的洛伦兹力\(F=I l B\)。外力方向总是与洛伦磁力方向相反，所以无论向里还是向外推，外力总是做正功。这个功转化为电路产生的热量。

 【涡旋电场】：变化的B导致与磁力线垂直的方向产生涡旋电场。

【涡电流】(eddy current，也叫傅科电流，即傅科摆的傅科)。上述涡旋电场按道理是只有电场的，没有电流，但是如果放一个导体上去，在电场作用下，电荷就会运动起来形成涡电流。

下图是金属导体和垂直于其的磁场的相对运动会产生涡电流(Eddy Current)。简而言之，就是电磁感应效应所造成，这个动作产生了一个在导体内循环的电流。磁场变化越快，感应电动势就越大，涡流就越强；涡流能使导体发热。在磁场发生变化的装置中，往往把导体分成一组相互绝缘的薄片或一束细条，以降低涡流强度，从而减少能量的损耗；但在需要产生高温时，又可以利用涡流取得热量，如高频电炉原理。

 

【感应加热】(induction heating )
变化的磁场下，在导体产生的一圈一圈的电流。如下图：

电磁炉：下方有一个线圈，导通高频电流(20 KHZ左右)，会产生变化的磁场。变化的磁场上就会产生一圈一圈涡旋的电场，如果我们不放锅，电场是没有办法形成电流的，没有电流就不生热。但是假如我们放一个导体锅进去，在锅的底部，由于涡旋电场的作用就会形成涡电流，涡流会生热。锅必须是导体，如果是陶瓷，就算有电场也不产生涡流所以不能生热。锅必须是铁磁性的，即可以加强磁场；所以如果我们用铜或者铝锅，虽然也是导电的，但是没有办法加强磁场，于是就没有办法产生足够的电流来生热。另外，铁有很好的导磁性，会把磁场限制在锅底，如果用铜或者铝的话磁场会散发掉。电磁炉产生的是高频的磁场，所以会辐射电磁波，大部分电磁波被限制住，但是也有一些泄露出去了，可能会对心脏起搏器产生危害。

金属探测器：金属探测器利用电磁感应的原理，利用有交流电通过的线圈，产生迅速变化的磁场。这个磁场能在金属物体内部能感生涡电流。涡电流又会产生磁场，倒过来影响原来的磁场，引发探测器发出鸣声。

【涡电流制动】(eddy current brake)：左边可以实现磁制动；右边的，由于齿的存在，使得涡流的电阻太大，总的涡流发热功率就很小，所以这个摆的动能和势能向热转化的比例很小，最终就是阻尼很小。

【趋肤效应】(也叫集肤效应，skin effect)，是指导体中有交流电或者交变电磁场时，导体内部的电流分布不均匀的一种现象。随着与导体表面的距离逐渐增加，导体内的电流密度呈指数衰减，即导体内的电流会集中在导体的表面。从与电流方向垂直的横切面来看，导体的中心部分几乎没有电流流过，只在导体边缘的部分会有电流。产生这种效应的原因主要是变化的电磁场在导体内部产生涡旋电场，与原来的电流相抵消。

Cause of skin effect：. A current \(\mathrm{I}\) flowing through a conductor induces a magnetic field \(\mathrm{H}\). If the current increases, as in this figure, the resulting increase in \(\mathrm{H}\) induces circulating eddy currents \(\mathrm{I}_{\mathrm{W}}\) which partially cancel the current flow in the center and reinforce it near the skin.

危害：趋肤效应使得导体的电阻随着交流电的频率增加而增加，并导致导线传输电流时效率减低，耗费金属资源。在无线电频率的设计、微波线路和电力传输系统方面都要考虑到集肤效应的影响。

减缓方法：

• 【利兹线】(Litz wire)：一种减缓集肤效应的方法是采用利兹线。利兹线采用将多条金属导线相互缠绕的方法，使得电磁场能够比较均匀地分布，这样各导线上的电流分布就会较为平均。使用利兹线后，产生显著集肤效应的频率可以从数千赫兹提高到数兆赫兹。利兹线一般应用在高频交流电的传输中，可以同时减缓集肤效应和邻近效应。电磁炉使用利兹线来减少因趋肤效应而对线圈本身产生的热量；电磁炉中使用的交流频率远高于标准电源频率——通常在\(25-50\)kHz左右。
• 【钢芯铝绞线】(Aluminium Conductor Steel Reinforced)：高电压大电流的架空电力线路通常使用钢芯铝绞线，这样能使铝质部分的工作部分温度降低，减低电阻率，并且由于集肤效应，电阻率较大的钢芯上承载极少的电流，因而无关紧要。
• 既然趋肤效应使电流趋于表面流动，那么，相同截面积的导线，表面积越大，等效电阻越小，因此，利用互相绝缘的多根细导线代替单根实心导线，可以改善降低导线的交流电阻。
• 既然趋肤效应使电流趋于表面流动，那么将其制作成空心导线，其导电效果与实心导线基本相当，中间补上绝缘材料的方法，这样可以减轻导线的重量。
• 既然趋肤效应使电流趋于表面流动，那么，将其表面镀银或镀金，降低表面电阻，可以改善导线的交流电阻。

应用：集肤效应使得交变电流只通过导体的表面，因此电流只在其表面产生热效应。钢铁工业中利用集肤效应来为钢进行表面淬火，使钢材表面的硬度增大。集肤效应也可以描述为：导体中交变电磁场的强度随着进入导体的深度而呈指数递减，因此在防晒霜中混入导体微粒(一般是氧化锌和氧化钛)，就能使阳光中的紫外线(高频电磁波)的强度减低。这便是物理防晒的原理之一。此外，集肤效应也是电磁屏蔽的方法之一，利用集肤效应可以阻止高频电磁波透入良导体而作成电磁屏蔽装置，这也是电梯里手机信号不好的原因。

【邻近效应】(Proximity effect)：指当两条(或两条以上)的导电体彼此距离较近时，由于一条导线中电流产生的磁场导致临近的其他导体上的电流不是均匀地流过导体截面，而是偏向一边的现象。In electromagnetics, proximity effect is a redistribution of electric current occurring in nearby parallel electrical conductors carrying alternating current flowing in the same direction which causes the current distribution in the conductor to concentrate on the side away from the nearby conductor.

Effects:

1. The overall current carrying capacity is reduced.
2. The ac resistance is increased. (For DC Current : This effect isn't observed as f=0 Hz.
3. Eddy currents induced causes losses in this system.

 

 

位移电流和同步电机

$$ \begin{aligned} & E=\frac{\sigma_{\text {free }}}{\kappa \varepsilon_0}=\frac{Q_{\text {free }}}{\pi R^2 k \varepsilon_0} \quad I=\frac{d Q_{\text {free }}}{d t} \\ & \Rightarrow \frac{d E}{d t}=\frac{I}{\pi R^2 k \varepsilon_0} \end{aligned} $$只有当电流为零时，电容内部才没有变化的电场。只要存在电流，两极板间的电场强度就会变化。$$B2\pi r=\mu_{0} I \quad\rightarrow\quad B = \displaystyle\frac {\mu_{0} I}{2\pi r} $$利用安培定律，求出P1处的磁场强度。对于P2点的磁场强度，我们知道电容中间是没有电流通过的，但是其他位置的电流还是会使得P2处的磁场强度小于P1点，但是不太可能为0，但是如果我们用和P1一样的安培定律，作flat surface的话，得到P2处的磁场强度为0，出现矛盾。
对于P1点，重新选取open surface，然后，由于穿过的电流为0，于是我们重新用安培定律计算P1点的磁场强度为0，选取不同的曲面竟然得到不同的结果，显然有问题。麦克斯韦最终做出了很好的解释，他对安培定律做出了修正。电容的不同之处就在于存在变化的电场，麦克斯韦认为变化的电场也会对磁场产生影响，具体来讲就是随时间变化的电通量会影响磁场。

高斯定律中的电通量\(\Phi_{E}=\mathbf{E} \cdot \mathbf{S}=E S \cos \theta\)是对封闭曲面的积分，这里研究的是开放曲面。修正后的安培定律$$\oint_{C L} \vec{B} d \vec{l}=\mu_{0}\left(I+\varepsilon_{0} \kappa \frac{d}{d t} \int_{O S} \vec{E} d \vec{A}\right)$$ 等式右边，前面一部分表示的是真实的电流，后面一部分表示的是"【位移电流】"(displacement current)。利用修正后的安培定律，重新计算两种情况下的P1的磁场强度，可以得到相同的结果。

位移电流可能不是那么贴切，但是是必须的，它完善了电磁场理论。正如莎士比亚在《罗密欧与朱丽叶》中所说的，“名字有什么关系呢？玫瑰不叫玫瑰依然芳香如故”(What's in a name that which we call a rose by any other name would smell as sweet)

【三相交流电】：是三组幅值相等、频率相等、初相位互异(相位互相差 120°)的交流电(电源)，由有三个绕组的三相发电机产生，是工业上常用的电源，可提供超过数千瓦或以上功率的电力。

三相电源就是一般人们说的动力电，是380伏的交流电，由三根火线组成，不用零线，一般用于工厂企业用电。三相电源的任何一根火线和零线组合都会构成单相电源。工厂用的大部分是380 V三相交流电，即连通三个火线，没有零线。中国家庭用的是电是一根零线+一根火线，220 V是电压的有效值，峰值电压是\(\sqrt{2 *} 220 \approx 311 \)。

一相、二相、三相发电机如下图
三相电A、B、C相位间隔都是\(120^{\circ}\)，而且每时每刻三者的加和都是\(0\)，即对任意\(\alpha\)下式都成立(可以通过简单的和差化积证明)$$\sin \alpha  +\sin (\alpha+120) + \sin (\alpha+240) =0$$因此下图中无论是发电段还是用电端，都有一个中性点，即下图所示的情况。由于这条线上没有电流通过，所以通常直接去掉，即不用接这条线。更具体地说，三相电机接三相电的三根火线即可。

电刷极大简化了直流电机的控制——只要通以母线直流电压，直流电机就可以直接转动，但是在电刷进行线圈电流换相时，部分绕组直接短路于母线电压之下，损害了直流电机的寿命。根据直流电机的原理和弊端，人们就开始思考："永磁体磁场难以控制，而线圈的磁场可以通过改变电流的方式任意控制"，因而"永磁体作为转子，线圈作为定子"的永磁同步电机应运而生，如右图所示。永磁同步电机又被称为无刷直流电机，为了使永磁体不断转动，线圈必须产生旋转的磁场，正负极性不断切换才能和永磁体一直处于相斥的状态。

下图是三组【定子】Stator 线圈，一个【转子】Rotor，即永磁铁或者电磁铁。三个转子通三相交流电，于是三组线圈对应的三个方向上的磁场也在交流变化之中，每时每刻转子感受到的总磁场就是三个定子在该时刻产生的磁场的矢量叠加。如果转子的旋转和磁场的旋转同步，那么就是【同步电机】Synchronous moto。

【感应电机】induction motor /【异步电机】asynchronous motor：如果用一个导电的材料，比如一个导电蛋(conduction egg)去替代上图中的永磁铁(或电磁铁)转子，当磁场旋转的时候，导电球或导电蛋表面会有连续的磁通量的变化，因此会产生涡流。涡流处在磁场中，因此会受到一个扭矩的作用。这类似之前讨论的有刷直流电动机中通电导线圈在磁场中受力转动一样。这个扭矩会扭转导电球，而涡流总是存在的因为磁场在不停地旋转，因此会得到一个一直保持同一方向的扭矩，导电体就会一直旋转。对应的视频-油管，该导电蛋有个专门的名字 —【哥伦布蛋】Tesla's Egg of Columbus。

感应电机不需要电刷，电机的旋转速度取决于导电体。如果是个球体，那么旋转频率可能非常接近三相交流电的频率，因为涡流很容易在球体内转动(a sphere has many possibilities for eddy cunrents to run around)，如果是一个环的话，很显然涡流能选择的路径有限，即只能沿着环转动。

同步电机 vesus 异步电机：

• 同步电机的精度高、但造工复杂、造价高、维修相对困难，而异步电机虽然反应慢，但易于安装、使用，同时价格便宜。所以同步电动机没有异步电机应用广泛。
• 同步电机和异步电机最大的区别，通俗的理解就在于它们的转子速度与定子旋转磁场是否一致，电机的转子速度与定子旋转磁场相同，叫同步电机，反之，则叫异步电机。
• 同步电机与异步电机的定子绕组是相同的，区别在于电机的转子结构。异步电机的转子是短路的绕组，靠电磁感应产生电流。而同步电机的转子结构相对复杂，有直流励磁绕组(产生磁场的线圈绕组)，因此需要外加励磁电源，通过滑环引入电流；因此同步电机的结构相对比较复杂，造价、维修费用也相对较高。

参考资料：
(1) 永磁同步电机与异步感应电机各自的优缺点是什么—知乎
(2) 让电机转动起来——永磁同步电机控制
(3) 三相异步电动机如何工作—B站

The Perpetual Top

The top is made of plastic, and contains embedded in it a small permanent magnet, oriented perpendicular to the spin axis of the top.  The base contains a transistor and a coil with two windings, the assembly being driven by a 9-volt power supply. 工作过程如下：
(1) 磁铁N极靠螺线管时，产生感应电流，此感应电流触发三极管开启电路，于是螺线管导通，顶部是S极。于是陀螺的N极加速靠近螺线管S极。
(2) 接着N极由于惯性开始远离螺线管S极，产生的感应电流反向，无法触发三极管导通，于是通电螺线管断电。即陀螺和螺线管不产生作用。
(3) 由于惯性，陀螺S极开始靠近螺线管，电路依然不导通。
(4) 陀螺S极开始远离螺线管，此时感应出的电流可以导通三极管，于是螺线管通电，螺线管顶部再次变为S极，因而排斥陀螺的S极，陀螺被加速。

注：上面四个过程分别对应上面四张图。每转一圈给陀螺加速两次(即N靠近或S远离时)，从而保持不停运转。控制电路的自我判断是通过晶体管(三极管)实现的。

Magnetic Toys除了上面的The Perpetual Top，还有The Levitated Magnet和The Amazing Levitron，参考加州理工-Magnetic Toys，MIT-Physics Behind the Levitron

 

心电图、极光、超导、磁悬浮

上图是带电粒子在(直线)磁场中的运动(参考这里)，得到的运动轨迹是螺旋线，且该螺旋线每旋转一周就和y轴相切一次，图中画得不是很明显。地球的磁场不是直线，而是曲线，所以带电粒子会沿着磁场线盘旋，然后在靠近地球磁极(南极、北极)的地方和地球相碰。太阳会喷射等离子体，即太阳风，时强时弱。让其到达地球的时候，会电离地球的上部大气层，然后会产生微弱的光，即极光，只能在晚上才能看到。当太阳非常活跃的时候，极光可能非常壮观，即可以非常快速的变化，当然在磁极附近最强，最容易观察到。极光的颜色可以是红色、绿色、白色，颜色取于带电粒子的能量，但同时也取决于大气中是氮分子还是氧分子受激，还取决于在大气的哪个高度上发生的电离。实际上，极光以绿色为主，对应于氧的557.7 nm的受激辐射，参考彩色的氧气，你见过吗?——中科院物理所。

 

闪光式转速仪【Stroboscope Tachometer】是一种使用频闪方法测量物体旋转速度的装置。该装置会产生规律的闪光。如果这些闪光的频率正确，则旋转物体将在每次闪光期间被照亮。在这种情况下，物体看起来是静止的。由于这种定格动画效果，可以研究旋转、振荡或振动的物体。使用频率调节旋钮调节闪光的频率，直到光盘上的参考标记看起来静止为止。请注意，频闪仪的光与测试频率的相位越差，运动就会出现得越快。

如果shaft的转速是1000 rpm(未知量)，那么我们不断调节频闪仪的频率，直到观察到reference mark静止不动。比如我们跳到1000 Hz时发现标记物静止不动。此时我们不能断定shaft的转速是1000 rpm，因为转速可能是1000 rpm的整数倍。于是需要进一步调整频闪仪的频率直到2000 Hz，如果此时reference mark静止不动，那就需要继续调整频闪仪的频率，如果此时reference mark不再静止，那么就不需要继续调整了，即可以确定shaft的转速是1000 rpm。

激光转速仪【laser tachometer】First things first, a piece of a reflective material should be affixed to the rotating component. A contactless laser tachometer sends out a beam of laser light. This beam is directed towards a reflective strip (tape) on the rotating object. The laser spot should be seen on the reflective tape. When the light beam strikes this tape, it is reflected back to the light sensor in the tachometer. The device will count the number of times when the reflected signal is received. As a result, you will get the reading in revolutions per minute.

超导：超导性是荷兰物理学家昂内斯发现的。他在1908年首次液化氦气，然后他用液氦来冷却各种物质，1911年他发现如果用液氦将汞冷却到4 K，其电阻几乎为零，为此他获得了1913年的诺贝尔物理学奖。莱顿大学至今还有"卡末林·昂内斯实验室"。你要理解超导性，只能依靠量子力学，但是如今要理解关于超导的所有现象，即使是量子力学都有很大的问题。1986年又出现新的问题，贝德诺尔茨和卡尔·米勒在陶瓷材料中发现超导电性，钡镧铜氧化物（BaLaCuO或LBCO）的临界温度是35K，这在当时是临界温度的最高纪录，高于前一纪录12 K。这一发现对全球许多新型超导材料的研究起到了突破性的作用，最终超导转变温度达到开尔文135 K。这一发现震惊了科学界，因为之前理论学家证明在35 K想获得超导是不可能的，因此两人不到一年就获得了诺贝尔物理学奖(1987)。这是少有的一个发现一年之内就能获得诺贝尔奖的。

超导材料导线输电没有热量损耗，因为没有电阻。同样，超导材料可以通过极高的电流，因此你能得到极高的磁场，比如可以用在对撞机上。超导体内不存在电场，因为如果超导体有电场，超导体两端必定有一个电势差，欧姆定律\(V = IR\)马上告诉你如果\(V\)不为零，而电阻为零，那么电流就是无穷大，显然不可能，因此超导体内不可能有电场。

如果我将一块磁铁接近超导体盘，感应EMF必须保持为零，因为导体内部不可能有电场，所以\(I\)可以是任意值，完全合理。所以当这个磁铁接近时，涡流将在超导体内部流动，流动方式是保证磁通量保持不变，即\(d \Phi / / d t=0\)，所以这些涡流将永远不允许任何磁通量产生，所以涡流自身制造了一个磁场，如果你将它们和这个磁场矢量相加，它将永远保证超导体内部没有净磁场。总之，这磁铁产生的磁场在超导体内部被完全排斥。从另一个角度理解它，这里的磁场被挤压了，不过它是两个磁场的叠加，一个来自于涡流，一个来自于磁场。
【迈斯纳效应】(Meissner effect)—— 超导体从一般状态相变至超导态的过程中对磁场的排斥现象，于1933年被科学家在量度超导锡及铅样品外的磁场时发现。在有磁场的情况下，样品被冷却至它们的超导相变温度以下。在相变温度以下时，样品几乎抵消掉所有里面的磁场。他们只是间接地探测到这个效应；因为超导体的磁通量守恒，当里面的场减少时，外面的场就会增加。这实验最早证明超导体不只是完美的导电体，并为超导态提供一个独特的定义性质。

两个磁铁的北极相互排斥其实就是【磁压强】(magnetic pressure)\(P_B=\displaystyle\frac{B^2}{2 \mu_0}\) 右图将钇钡铜氧(YBa2Cu3O7)放在液氮了，上面放置一个磁铁即可悬浮，即实现【磁悬浮】(Magnetic levitation)，原理也是之前的迈斯纳效应。

 

磁悬浮列车的原理：如果你有一块磁铁，然后快速划过一个导电表面，你同样能得到浮力，然而你必须运动。之前的例子不需要运动，如果你仅仅是放手不动它的话，里面就会有一个涡流，但是这个涡流不会耗散任何热量，没有\(I^2R\)因为\(R=0\)，所以你不会损失那个涡流。现在这个就有所不同了，现在有一块磁铁，产生如右图的磁场，我们将它扫过一个导电板，通过板子的磁通量将会发生变化，然后里面产生一个涡流，涡流产生的磁场会排斥运动的磁铁。如果磁铁的速度足够大，以至于磁通量的变化\(d \Phi / d t\)足够大，那么火车就可以浮起来。火车要必须保持前进，否则如果火车停下来了，涡流就会衰减，没有\(d \Phi / d t\)了，但是导体中存在电阻，所以产生欧姆耗散，于是火车不再悬浮。
之前的两种磁悬浮分别需要超导体和运动中的磁铁，这里介绍第三种磁悬浮方式——利用AC电流磁悬浮。将导通AC电流的coil放置在conducting plate上面。AC coil不断变化大小和方向，下面的涡电流也会不断变化大小和方向。似乎是一半的时间线圈和导体板相互排斥，另一半的时间相互吸引，于是最终表现为没有作用。但实际上并不是这样，会存在一个净排斥力。

 

电感和RL电路

【电感】(Inductance)是闭合回路的一种属性，即当通过闭合回路的电流改变时，会出现电动势来抵抗电流的改变。我们目前讨论的是互感self-inductance，也就是某闭合电路的感应电动势对该电路自身产生的影响。$$\begin{array}{l} \phi_{B}=L I \\ \varepsilon_{m d}=-\displaystyle\frac{d \phi}{d t}=-L \displaystyle\frac{d I}{d t} \end{array}$$电感\( L \)只和电路(导线)的几何构型有关，不是电流的函数，它的SI单位制是亨利\( \text{H} \)。每个电路都存在自感，或大或小而已，有的接近\( 0 \)，但是不可能是\( 0 \)，因为肯定存在磁通量。

螺线管的电感和充电过程
想象一个特殊的曲面，螺线管每绕一圈，都穿过该曲面。线圈对应的圆的半径为\(r\)，线圈的外观长度为\(l\)。其电感的计算过程如下$$ \begin{aligned} &\begin{aligned} & B=\mu_0 I \frac{N}{l} \\ & \phi_B=\pi r^2 N^2 \mu_0 I / \ell=L I \end{aligned}\\ &L=\pi r^2 \frac{N^2}{l} \mu_0 \end{aligned} $$

电感电路的电流曲线(电感越大，“抵抗力”却强，达到最大稳定电流的时间越长)

回路中的电场分布
$$ \begin{aligned} & \oint \vec{E} \cdot d \vec{l}=-\frac{d \phi_B}{d t}=-\frac{L d I}{d t} \\ & 0+I R-V=-\frac{L d I}{d t} \end{aligned} $$注意红色框起来的是用法拉第定律(\( \mathcal{E}=-\displaystyle\frac{d \Phi_{B}}{d t} \))。不能用基尔霍夫定律，因为存在磁通量的变化，所以环路的电压升降求和不是\( 0 \)；把等式右边的移到左边，那么右边就是\( 0 \)，似乎就得到KVL。真实情况是电感上的电压降为\( 0 \)，整个电路的电场是非保守场，不能用基尔霍夫定律。求解得到$$\begin{array}{l} \displaystyle \frac{Ld I}{d t}+I R-V=0 \\ I=I_{\max }(1-e^{-\frac{R}{L} t}) \quad I_{\max }=\frac {V}{R} \end{array} $$当\( t=\displaystyle\frac { L }{  R} \)的时候，电流还只是最大电流的\(63\%  \)。电流达到最大值后，突然断开开关，那么储存在螺线管中的能量就会通过电阻的热释放出来，也就是说电路虽然断开，但是还是存在电流。很容易求出断开电路之后通过电阻的电流大小，电阻功率对时间的积分就是电阻最终消耗的总能量，而这个能量就是断开开关瞬间存储在螺线管中的能量。 $$\int_{0}^{\infty} I^{2} R d t=I_{\max }^{2} R \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{R}{L} t} d t=\frac{1}{2} L I_{\max }^{2}$$下图等式左侧就是积分后得到的存储的总能量，然后分别用先前给的螺线管中\(  L\)和\(  I\)的表达式替换，得到等式右边的式子。等式右边的式子，可以看成是磁场能量密度和体积的乘积，【磁场能量密度】为\( \displaystyle\frac{1}{2} \frac{B^{2}}{\mu_{0}} \)$$\frac{1}{2} L I^{2}=\frac{B^{2}}{2 \mu_{0}} \pi r^{2} l$$【电场能量密度】\(\displaystyle\frac{1}{2} \varepsilon_{0} \kappa E^{2}\)单位是焦耳每立方米(先前平行板电容器的计算结果)，表示电荷分配到特定分布需要做的功。磁场能量密度，让一个电流流过纯自感(电阻为\( 0 \))需要做的功，螺线管会抵抗电流的成形，所以必须做功。$$ \begin{aligned} & V=V_0 \cos \omega t \\ & I=\frac{V_0}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}} \cos (\omega t-\phi) \\ & \tan \phi=\frac{\omega L}{R} \end{aligned} $$电流和驱动电压之间存在相位的滞后。电感是在抵抗电流的变化，所以这个滞后就说得过去了。电感和角速度的乘积可以看作是电阻。

扬声器中的电流是变化的，串入电感后会减小电流，高频声音消失(电感通低频，阻高频；电容通高频，阻低频)。

再看AC电流磁悬浮：上面是通交流电的线圈，下面是金属片(存在涡流)。红色的是AC线圈的电流，绿线是导体上的EMF，二者有90度相位差因为EMF正比于AC线圈电流岁时间的导数。考虑下面两种情况：

不考虑EMF和感应电流之间的相位延迟——即表示蓝色线的感应电流和EMF同相位，两个线圈的电流一半时间是同向而且相互吸引的，另一半时间是异向相互排斥的，总体不表现出作用。

考虑相位延迟——考虑极端情况，即表示蓝色线的感应电流和EMF相位相差90度，意味着两个线圈的电流方向总是相反的的，所以一直表现出排斥力，上面的线圈就会悬浮在空中。