MIT电和磁 – Page 5 – 历史的进程

折射反射

斯涅尔定律(Snell's law)
为什么牛顿认为光在水或玻璃中的速度更快？
答：根据牛顿光的微粒学说，微粒由光疏媒质进入光密媒质时，发生折射是因为高密度介质引力大从而使得光线更偏向于法线，由于有了一个法线方向引力会给微粒一个加速度从而得出光在水中速度应该比真空中快结论。水平方向的速度，由于光的微粒很小，在介质中阻力对光速的影响忽略不计，引力其主要作用，其实就是水平方向的速度保持不变(阻力忽略)，而垂直方向的速度增大(引力场的作用)，因而总的合成的速度增大。利用惠更斯原理，很容易证明光在水或者玻璃中的传播速度要比空气中慢。

光进入玻璃后传播方向为什么会变：根据视频Why does light bend when it enters glass?内容，可以从三个方面解释：
(1) 费马原理 (Fermat's principle)，光总是选择两点间的最短路径传播，所以又称作“最短时间原理”，这是最小作用量原理多种描述中的一种，还是没解释折射的根本原因。
(2) 惠更斯原理 (Huygens–Fresnel principle，波前wavefront上的质点，开始以和波源相同的频率开始振动，但是当光都穿过介质，alignment的方式会发生变化，多种选择方式)

(3) 麦克斯韦方程组 (水的介电系数更大，射入玻璃后，水平方向的电场分量保持不变，但是垂直界面方向的电场分量减小，合成出总的电场分量，那么它的垂直方向就是光在玻璃中的传播方向)根据麦克斯韦方程组推导出的真空中光速$$c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}}}$$介质中的光速(同时考虑介质的介电常数$\varepsilon=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}$和磁导率$\mu=\mu_{r}\mu_{0}$)$$v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}\varepsilon_{r}\mu_{r}}}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{r} \mu_{r}}}=\frac{c}{\rm n}$$

介电常数(或者说相对介电常数)和磁导率(或者说相对磁导率)都不是定值，和电磁波的频率有关，原因是在高频下，内部电偶极子和磁偶极子的排列受到外界交变场的控制，不能快速跟随变化，高频下$\varepsilon_{r}$会变小，但是$\mu_{r}$变化可以忽略(非铁磁/亚铁磁材料可以忽律，因为介质(顺磁性/反磁性物质)对磁导率的影响微乎其微)；牛顿的三棱镜实验展示了光的色散，对于材质均匀的三棱镜，不同波长的光在其中的折射率不一样。声音在空气中没有色散。

以水作为例子，一般对可见光的折射率为$ 1.3$，但是对频率为$ 0 $到无线电波段的外场(低频)来说，折射率接近$9 $，对应的光速要远小于真空中的传播速度。相对磁导率基本不变，主要是相对介电常数的变化。参考水的折射率与相对介电常数有矛盾吗？

光学中与$n$有关的故事：

来自麦克斯韦方程组的$n=\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}=c / v$，其中$\varepsilon_r$、$\mu_r$、$v$分别为相对介电常数、相对磁导率、介质中的光速；
不变的$n$：几何光学(geometrical optics，ray optics），波动光学(physical optics，wave optics)；
变化的$n$：
- 空间(动量)引起的变化：光栅，光纤，波导；微纳光学(nano-photonics，nano-optics)
- 时间(能量)引起的变化：非线性光学(nonlinear optics)
扩展的$n$：负值，虚部，back to 麦克斯韦方程组：$\varepsilon$和$\mu$的调控；变换光学(transformation optics)
来自量子力学的$n$(相互作用强度强)：量子光学(quantum optics)

全反射临界角$\theta_c=\arcsin \displaystyle\frac{n_2}{n_1}$，其中$n_2$是密度较低的介质的折射率。

【贝纳姆的转盘】(Benham's disk)

拍立得的发明者给的两个黑白slides，其中一个用红色滤波片放置在镜头前面。

当视觉细胞受到闪光刺激，在入射光和响应之间会有些相位延迟，响应即发送到大脑的消息，对于不同的颜色有不同的相位延迟，由于白光是各种色光的组合，中心与边缘的相位延迟不同，而大脑仍以通常的方式处理，就看到了颜色。

真实是相对的，它存在于我们的大脑中，依赖于我们处理信息的方式。

参考资料：
(1) 为什么旋转的黑白两色圆形图片每个人看到的颜色都不一样?—知乎
(2) 交互实验展示—Michael Bach Lab

偏振

等待修改，参考这里。Edwin H. Land 发明了偏振片，我需要专门写一个关于偏振片原理，还有滤波片原理的内容。

【偏振】(polarization)指的是横波能够朝著不同方向振荡的性质。例如电磁波、引力波都会展示出偏振现象；纵波则不会展示出偏振现象，例如传播于气体或液体的声波，其只会朝著传播方向振荡。在横波中，波的传播方向和场的振动方向垂直。由于传播方向是一个矢量，因此与这个矢量相互垂直的是一个面。在一个面内，场矢量可以选不同的方向，这就是偏振的根源。在纵波中，波的传播方向和场的振动方向是一致的，这时候场的振动方向没得选择，要么和波的传播方向同向，要么反向。因此偏振是横波的特性之一，纵波则没有这样的特性，偏振特性使横波比纵波多出一个自由度。

一般我们用偏振来形容光，用极化来形容电磁波，二者其实是一回事，都对应polarization这个单词。光的偏振/电磁波的极化主要分为：线偏振/极化、圆偏振/极化、椭圆偏振/极化。一般，我们默认电场矢量运动的轨迹来定义的极化/偏振。用电场刻画偏振是因为电磁波与通常条件下大部分宏观物质的作用主要体现在电场的作用。实际上根据麦克斯韦方程组，我们知道电场和磁场是相互垂直的，大小的比值是【本征阻抗】(Characteristic Impedance)，所以知道了电场，就自然知道了磁场，无论是用电场去描述偏振状态还是用磁场，其本质是一样的。比如自由空间均匀平面波的本征阻抗为$Z_0=\displaystyle\frac{E}{H}=\mu_0 c_0=\sqrt{\displaystyle\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=\displaystyle\frac{1}{\varepsilon_0 c_0}$，大约$120 \pi \approx 377(\Omega)$。

线偏振：A plane electromagnetic wave is said to be linearly polarized. The transverse electric field wave is accompanied by a magnetic field wave as illustrated.
圆偏振：Circularly polarized light consists of two perpendicular electromagnetic plane waves of equal amplitude and 90° difference in phase. The light illustrated is right-circularly polarized.
椭偏振：Elliptically polarized light consists of two perpendicular waves of unequal amplitude which differ in phase by 90°. The illustration shows right- elliptically polarized light.

偏振光的数学描述：$$ \left\{\begin{array}{l} E_x=A_x \cos (\omega t) \\ E_y=A_y \cos (\omega t+\Delta \varphi) \end{array}\right. $$

【入射面】(plan of incidence)：入射平面由入射辐射的传播向量和表面的法向量定义。

【主截面】：入射界面(晶体表面)的法线与光轴形成的平面。是与晶体相关的，与光线无关。

【Birefringence】(双折射)的根源是晶体的各向异性，同时也体现了光的横波特性(纵波没有偏振)，晶体的光轴即光沿此方向入射时无双折射。(下图左侧图可能有误)

【光轴】(optical axis)：An optic axis of a crystal is a direction in which a ray of transmitted light suffers no birefringence (double refraction). An optic axis is a direction rather than a single line: all rays that are parallel to that direction exhibit the same lack of birefringence. 光轴是对晶体而言的，对多晶材料(粉末)或者非晶材料，没有这一概念。按照光轴分类：

所有方向都是光轴：在光学上是各向同性，没有双折射——立方晶体；
有双折射：
- 单轴晶体——三方、四方、六方晶体；
- 双轴晶体——三斜、单斜和正交晶系；

【单轴晶体】(uniaxial crystal)的特点：

方解石、石英等，只有一个光轴；
在垂直于光轴的平面内是各向同性的(isotropic)；
$n_i \neq n_j=n_k$，即光轴方向的折射率不同于其他两个结晶轴；
晶体一般是非磁性介质，因此在不同方向所展现的不同材料特性是介电常数，而不是磁导率；
快/慢轴：当光传播通过具有最小折射率的轴时，拥有更高的相速度，则该轴被称为【快轴】，反之，如果是通过具有最大折射率(最小相速度)的轴被称为【慢轴】；
- 正单轴晶体：比如石英SiO₂，MgF₂，金红石TiO₂，$n_e>n_o$；
- 负单轴晶体：比如方解石CaCO₃，红宝石Al₂O₃，$n_e<n_o$；
光沿着光轴方向传播 —— $o$光和$e$光感受到的折射率相同，传播速度相同；
光沿着垂直光轴的方向传播 —— $o$光和$e$光感受到的折射率不同，相速度不同，根据此原理可以制作波片。

$o$光和$e$光：只针对单轴晶体或者双轴晶体而言(针对双折射现象而言)，出了晶体就不这样叫了。

【$o$光】(寻常光，ordinary ray)，走正常折射路线的光，即完全符合折射定律，折射光和入射光在同一个平面内；
【$e$光】(非常光，extraordinary ray)，走不正常折射路线的光，出现在双折射晶体中，入射角的正弦值与折射角的正弦值之比不是常数，而且折射光通常不在入射面内；
$o$光主折射率为$n_o=c/{v_o}$，$e$光主折射率为$n_e={v_e}$
$o$光和$e$光都是线偏振光，而且偏振方向垂直，但是它们的传播方向是没有要求的。

主平面：晶体中的光线与光轴所形成的平面。

【$o$光主平面】：光轴与$o$光构成的的平面，$o$光的振动方向(电矢量)垂直于该平面；
【$e$光主平面】：光轴与$e$光构成的的平面，$e$光的振动方向平行于该平面；

光轴在入射面时，$o$光主平面和$e$光主平面重合，此时$o$光振动和$e$光振动相互垂直。一般情况下，两个主平面夹角很小，故可认为$o$光振动和$e$光振动仍然相互垂直。

【波片】(Waveplate，也叫波晶片、相位延迟片retarder)：an optical device that alters the polarization state of a light wave travelling through it. 它是由双折射的材料加工而成。用于调整光束的偏振状态。最常见的波片为正单轴晶体SiO₂，因为它在很大的波长范围内具有很高的透明度，并且具有很高的光学质量。

波片制作是特定方向的(光轴平行于波片表面)，此时$o$光和$e$光方向不变，但是因为速度不同，产生相位差；
相位差的大小取决于波片的厚度，材料和工作波长。
晶体的光轴与入射表面平行；
平行偏振光正入射；
入射偏振和波片的快轴或慢轴平行，波片就不会改变偏振态，只是会产生对应的相位差；
波片的快轴：传播速度快的光矢量(light vector)的振动方向(轴)。负晶体的$e$轴(平行于光轴)，正晶体的$o$轴(垂直于光轴)；
波片的慢轴：传播速度慢的光的振动方向(轴)。负晶体的$o$轴，正晶体的$e$轴。
怎样区分波片的快慢轴？-Thorlabs

上图展示了波片的相位延迟，应该是线偏振光入射？，晶体的光轴与入射表面平行，平行光正入射。

波片使用的注意事项：

波长问题——任何波片都是对特定波长而言的；
主轴方向问题——使用波片时应当知道波片允许的两个振动方向(即两个主轴方向)，及相应波速的快慢(哪个是快轴)，通常制作时已标定；
波片只改变偏振，不改变光强(忽略反射)——虽然波片对入射光的两个分量增加了相位差$\delta$，但在不考虑波片反射的情况下，因为振动方向垂直的光束不发生干涉，因此总光强与$\delta$无关，保持不变。

【四分之一波片】(quarter-wave plate)：当光从法向入射透过波片时，寻常光($o$光)和非常光($e$光)之间的位相差等于$\pi/2$奇数倍，即产生对应的相位延迟。当线偏振光垂直入射$1/4$波片，根据入射线偏振光的偏振方向不同，出射后线偏振光变成椭圆偏振光、圆偏振光或者线偏振光；特别地当入射光的偏振和波片的快轴或慢轴成$45^{\circ}$角时，出射光为圆偏振光。
参考视频：用1/4波片将线偏光变成圆偏光-Thorlabs

【二分之一波片】(half-wave plate)：shifts the polarization direction of linearly polarized light. 该波片产生$\pi$奇数倍的相位延迟，线偏振光通过二分之一波片后仍是线偏振光；若入射线偏振光的振动方向与波片快轴（或慢轴）夹角为α，则出射线偏振光的振动方向向着快轴（或慢轴）的方向转过2α角度。圆偏振光入射时，出射光是旋向相反的圆偏振光。

【金属线栅偏振片】(Wire Grid Polarizers)：等待补充

瑞利散射的偏振：粒子尺度远小于波长，偶极子在光场中的受迫振动，振动的电偶极子辐射同频电磁波。

偏振态的鉴定：

偏振态	偏振片，透振方向绕光束旋转	先通过1/4波片，再通过偏振片
自然光	光强不变	光强不变(鉴定)
圆偏振光	光强不变	光强改变，出现消光(鉴定)
线偏振光	光强改变，在某一角度消光(鉴定)
部分偏振光	光强改变，但不消光	光强改变，但不消光
椭圆偏振光	光强改变，但不消光	转动1/4波片和偏振片，出现消光(鉴定)

参考资料：
(1)
(2) Introduction to Waveplates； Quarter-Wave Plate—Hyperphysics
(3) 晶体的双折射现象—B站
(4)
(5)

【S偏振】和【P偏振】：S = Senkrecht，S偏振表示垂直偏振光，P = Parallel，P偏振表示平行偏振光。所谓的平行或者垂直是相对于偏振光学元件的入射平面而言的。

注意：In the context of diffraction gratings, the opposite definition can be found. Here, “s” still means perpendicular, but in that case perpendicular not to the plane of incidence, but to the lines of the grating. So for s polarization, the electric field vector is perpendicular to the lines, i.e., it lies in the plane of incidence. (参考Conflicting Definitions of S and P Polarization—rp-photonics)

【偏振分束器】(Polarizing Beam Splitter)：A polarizing beam splitter (PBS) allows light in one polarization (P) to pass through unhindered while it reflects light in the orthogonal (S) polarization.

天线的水平极化和垂直极化：补充

TE模和TM模：TE模指的是【横电波】，TM模指的是【横磁波】 (都是针对光波导，在free space中我们一般不谈TE/TM/TEM的概念)

TE: No electric field in the direction of propagation. These are sometimes called H modes because there is only a magnetic field along the direction of propagation (H is the conventional symbol for magnetic field).
TM: No magnetic field in the direction of propagation. These are sometimes called E modes because there is only an electric field along the direction of propagation.

【马吕斯定律】(Malus's Law)：偏振光照射于偏振片，二者之间的夹角为$ \theta$，则透射光的强度为$ I=I_0 \cos ^2 \theta$非偏振光可以视为很多偏振方向不同的平面偏振光均匀混合而成。由于$\cos ^2 \theta$的平均值为$1/2$，因此透射系数为$1/2$，即自然光通过偏振片后的强度为之前的$1/2$。实际情况中，偏振片表面会反射部分入射光，偏振片本身也会吸收一些入射光，因此透射系数会低于这一数值。假设照射一线偏振光束于一偏振片，而偏振光的偏振方向垂直于偏振片的传输轴，就理论而言，理想状态下，偏振光会被偏振片完全阻挡，但实际而言，阻挡并不完全，还是会有一些偏振光透射过偏振片。
注：法国科学家马吕斯对于偏振现象做出诸多贡献，后人尊称他为“偏振之父”。

【布儒斯特角】当入射自然光以此角度射入界面时，反射光是线偏振光，并且与折射光线互相垂直。$$ n_1 \sin \theta_{\mathrm{B}}=n_2 \sin \left(90^{\circ}-\theta_{\mathrm{B}}\right)=n_2 \cos \theta_{\mathrm{B}} $$整理得到$$\theta_{B}=\arctan \left(\frac{n_{2}}{n_{1}}\right)$$

光的强度取决于坡印矢量($ E $和$ B$的叉乘)，而坡印矢量正比于$ E_{0} $；
非偏振光，经过埃德温.兰德(Edwin Land)偏振片时，光子震动方向在偏振方向上投影，得到完全偏振光，对$ 0 $到$ \pi / 2 $范围内取平均值，光强变为$ 1/2$($ \cos ^{2} \theta$的积分)；
非偏振光经过偏振片后，得到的偏振光强为原来的$ 1/2 $；再经过角度为$ \theta$的偏振片后的光强为原来的$ \cos ^{2} \theta$倍；
任何波长的偏振光，通过另一个旋转一定角度的偏振片后，强度发生变化，也就是能量发生了变化，我们知道能量和波长(或频率)相关，似乎意味着波长也发生了变化，但是实际上没有，蓝色偏振光入射，得到的依旧是蓝光。具体的需要量子力学的解释；
光的偏振方向一般用电场矢量去描述，当然你也可以选择磁场矢量，二者本质是一样的；
反射光里面偏振光的成分比较多(部分偏振)，特别是如果入射角恰好为布儒斯特角，此时反射光是完全偏振光，如果给相机安装偏振片，那么旋转到适当的角度，就可以尽量消除反射光的影响，从而拍清楚窗户或者水底的景象。
s偏振和p偏振。

如何得到偏振光(Methods for Achieving Polarization of Light)：

参考资料：
(1) 光的偏振中，到底是电场矢量描绘出了一个椭圆形还是电场与磁场矢量共同描绘出了一个椭圆形?—知乎
(2) 偏振：古老却依然很新鲜——邵晓鹏
(3) 【科普时间到】光的偏振—西安光机所
(4) Polarization concepts—hyperphysics
(5) 光的偏振—PPT

偏振的应用

四分之一波片及其用途(4种)—知乎；二分之一波片的四种用法

偏振片的应用之一：【光隔离器】(Optical Isolator) = 两个互成45度的偏振片 + Faraday rotator + 磁场

参考资料：
(1) Classification of Polarization—hyperphysics
(2) What is Fiber Optic Isolator?
(3) Faraday effect

彩虹

descriptive 描写的；叙述的；说明的；描写性的
non-negotiable 毫无疑问的，毋庸置疑的，不可谈判的

彩虹的几何原理(参考这里)

推导过程，可以看每一次光的偏转角度，三次偏转的加和就是$\delta $的值，补角就是$\varphi $，$\varphi $的最大值是42度。由于雨滴是一个球形，具有球对称的特征，所以这个42度边界对应的是一个锥形，相当远沿着中心的水平线旋转一周。
不同衍射的光在雨滴中的折射率不同，所以存在不同的$\varphi $极限角度。对蓝光来说，极限角度为40.7°，对红光来说，极限角度为42.4°。所有颜色的光都会出现在低于40.7°的范围(都反射回来)，混合之后就是白光；都不会出现在超过42.4°的范围，什么光都看不到。因此我们能看到的彩虹是恰好在40.7到42.4°这个小范围内。如果在左侧放一个屏幕，得到的结果就是如下图。
左图中，从左到右，第一个点，人眼视角处在no light的范围；第二个点，人眼的视角正好只看到红光；第三个点，人眼视角处在白光范围。右侧的图，太阳光不是平行于地面入射，此时的太阳位置比较高，太阳光呈一定的角度入射。以太阳光的入射方向为基准，旋转42.4°就是人可以看到彩虹的临界情况。随着太阳越来越高，人眼如果要观察到彩虹，人观察到的彩虹就越来越“低”(靠近地平面)。如果太阳光和水平面的夹角超过42.4°，那么人眼就无法观察到彩虹。