粒子世界
电子的发现-汤姆森
低压气体放电管(盖斯勒管)，气压再低一点气体就不发光了(阴极射线管)，此时由于残存气体的作用，射线在电场下并不偏转(只观察到磁偏转)，汤姆森将玻璃管的真空度进一步提升，发现阴极射线其实是可以电偏转的，证明是电子。汤姆森也提出了原子结构的西瓜模型。汤姆森当时只是粗略计算了电子的电荷和质量，数量级上是对的，他真正得到的其实是荷质比。
汤姆森的学生威尔逊发明了威尔逊云室，观察电子的运动轨迹。
质子的发现-卢瑟福
汤姆森还有一个学生卢瑟福，研究铀矿的放射性，之前别人已经发现铀岩能自发冒射线，于是他开启对这些射线的研究，将射线放到磁场中，他发现两束偏转方向不同的粒子束\(\alpha \)射线就是氦核，\(\beta\)射线就是电子)。
经过测算，确认了电子和氦核分别对应两束偏转的射线。他提出了放射性元素半衰期的概念。
(图说明：左图：从均匀原子核模型预测的α粒子散射情况，α粒子运动方向只会发生微小偏转。右图：卢瑟福等人实际观测到的情况，小部分的α粒子运动方向会发生大幅度偏转，因为原子核的正电荷都集中在小范围区域。)
接下来他利用\(\alpha \)射线去轰击金箔(“盖革-马斯登”实验，也即金箔实验，如上图)，按道理射线的速度很快能量很高，应该直接穿透金箔，但是他观测到了有部分的粒子反弹回来了(和西瓜模型矛盾)，于是提出了卢瑟福原子模型。接下俩卢瑟福用\(\alpha \)射线轰击各种原子，发现都能得到一种带正电的粒子，他认为这是一种更基本的粒子，即“质子”。他也预测了原子核中存在一种中性的粒子，也就是后来被发现的中子，但是他当时认为原子核中也存在电子(带负电的电子和带正电的质子结合)，当然后面证实是错的。
光子的发现
光子就是光的粒子性，首先是普朗克为了解释黑体辐射提出光的能量是一份一份的，即光量子假说，然后爱因斯坦用光的粒子性解释了赫兹的实验发现(光轰击金属，必须超过截止频率，低于截止频率的即使提高光强也没用)，即光子的能量是\(h\nu\)。当时的光子说并没有得到大部分人的认同，但是接下来的两个实验让人们确认光量子的存在。
(1) 密立根：密立根反对光量子假说，他想做实验证明爱因斯坦是错的，但是实验结果很好地证明爱因斯坦光电方程是对的。密立根有一个学生叫作赵忠尧。
(2) 康普顿：一束低能电磁波打到金属板上，会有光电效应，但是一束X射线(高频率的电磁波)打到石墨上，会散射出两束不同频率的电磁波，其中一束和入射频率一样，另一束比入射频率小，而且频率的变化和散射角有关，这种现象就是“康普顿效应”。这个现象利用传统的波动理论无法解释(散射不会改变波动的频率)，但是利用爱因斯坦的光子说可以很好的解释，即光子和电子碰撞(弹性碰撞，动量守恒)的时候损耗了能量。康普顿的学生吴有训还尝试了其他各种材料，都验证了康普顿效应的正确性，打消了其他人的质疑。
中子的发现-查德威克
查德威克是卢瑟福的学生，在卡文迪许实验室一直去寻找卢瑟福预测的中子。查德威克虽然发现了中子，但是他和卢瑟福认为中子是质子和电子的复合粒子，不是基本粒子
\(\alpha \)粒子好啊，可以从天然铀矿中得到，于是被广泛用来做轰击实验，
狭义相对论
参考系的选择是为了方便，不同的观察者会有不同的选择。为了说明不同参考系的数据，我们需要一个规则，把一个参考系的读数转换为另一参考系的读数。这个规则被称为【变换律】(transformation law)。一个物理定律必须与观察者无关，这意味着一个方程的表述在所有参考系里应该有相同的【外观】(appearance)。我们把这种要求称为一个物理定律相对于变换律必须【协变】(covariant)。
伽利略变换
- 【惯性定律】：牛顿第一定律，又称惯性定律。常见的完整表述：任何物体都要保持匀速直线运动或静止状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。惯性定律只有在惯性坐标系下才是正确的。
- 【惯性坐标系】：或者叫作惯性参考系，所有的物理学定律在所有的惯性坐标系中都相同。经典物理学与狭义相对论中，在非惯性系里，系统的物理规律会受到参考系相对于惯性系的加速度影响而发生变化。此时物体的受力要考虑惯性力。比如，落地的小球由于地球自转并不是完全沿直线落下。与地球一起运动的观察者必须考虑科里奥利力才能预测小球的水平运动情况。离心力是另一种与旋转参考系有关的惯性力。
- 【加速坐标系】：人的身体对加速坐标系很敏感，过山车就是给人类加速坐标系的感觉。或者如果你发现一个物体没有受力但是在加速运动(惯性定律不适用)，说明你处在加速坐标系。比如下面的情况，在加速运动的车上的B发现A在加速往后运动，实际上A在水平方向根本不受力，此时牛顿第一定律不成立。参考相对论_惯性坐标系和加速坐标系-PengTitus
伽利略《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》里有这样一段话，“假如你在一个匀速行驶的轮船上，你会发现所有的物理规律跟在地面上是一样的，你往前跳或者往后跳，绝对不会比地面上跳得更远或者更近；如果桅杆上一滴水掉下来的话，也一定会落到桅杆的正下方，而不会往前或者往后，虽然在这段时间内船已经往前运行了很多距离”。
这个实际上就具有了朴素的相对性原理，后人根据伽利略的观点，总结成。伽利略变换是符合生活逻辑的，所以伽利略变换在很多年以来被人们认为是无需证明，显而易见的。
【伽利略变换】的数学表达：\((x, y, z, t)\) 和 \(\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, t^{\prime}\right)\) 分别为同一个事件在两个坐标系 \(S\) 和 \(S^{\prime}\) 中的坐标。两个坐标系以相对匀速运行 (速度为 \(v)\)，运行方向为 \(x\) 和 \(x^{\prime}\)，原点在时间\(t=t^{\prime}=0\)时重合。
$$ \begin{aligned} &x^{\prime}=x-v t \\ &y^{\prime}=y \\ &z^{\prime}=z \\ &t^{\prime}=t \end{aligned} $$最后一条方程式意味着时间是不受观测者的相对运动影响的。用线性代数来表示，考虑最简单的情况即参考系只沿着\( x\)轴运动，伽利略变换只作用于两个分量$$ \left(x^{\prime}, t^{\prime}\right)=(x, t)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -v & 1 \end{array}\right) $$如果参考系的运动方向在多个坐标轴方向都有分量，那么只需要将其作投影即可。
- 力学规律(牛顿定律)在伽利略变换下是保持不变的(协变)。
- 电磁学规律在伽利略变换下是不协变的。
- 麦克斯韦方程组推导出光速是一个定值(不依赖参考系)，于是和伽利略变换矛盾。
- 爱因斯坦根据迈克耳孙一莫雷实验的解释，光速在所有参考系中必须相同。
- 三种想法去解释矛盾：
- 麦克斯韦方程组不完备，需要补充完备就可以像力学规律一样可以协变，但是没有得到大多数科学家的认同，大家还是认为麦克斯韦方程组(的推导)是完美的；
- 协变性有问题？也就是说不需要在所有参考系下物理规律都相同，光速随着参考系而变化，也就是光有一种坐标系(以太)，但是没找到以太；
- 前两种可能都被排除，于是只能是伽利略变换有问题，即在不同参考系下，物体的坐标和时间不满足伽利略变换。
- 变换律只可能有一个，这意味着牛顿方程应该修正。因此我们必须：
- 找到一个可以使麦克斯韦方程组协变的变换律；
- 修正牛顿方程，使它在新的变换律下协变。
红色内容待整理
根据伽利略相对性原理：在物理时空中有一个特定的伽利略构造(“惯性参考系类”)，惯性参考系的变换就是在这个特定的伽利略构造中的伽利略变换。
而相对性原理要求一切自然规律在任何时刻，在所有惯性系中都相同。即一个惯性系中的自然规律在其他惯性系中都相同。即自然规律在伽利略变换下协变。
下面，给出几个重要的伽利略变换下协变的例子。
- 时间平移是伽利略变换，牛顿方程具有时间平移不变性，意味着自然法则是恒定的
- 空间平移是伽利略变换，牛顿方程具有空间平移不变性，意味着空间是均匀的
- 空间旋转是伽利略变换，牛顿方程具有空间旋转不变性，意味着空间是各向同性的
由上述三个对称性，还可以推出牛顿第一定律。相对性原理
科里奥利力(Coriolis force)
xx
参考资料：
(1) 台风是如何形成的？为什么是涡旋状？李永乐老师讲科里奥利力
(2) 科里奥利力和傅科摆—B站
(3) 如何证明地球的自转？最美物理实验第十名——傅科摆—妈咪说
光锥(Light cone)
洛伦兹变换
洛伦兹在借助以太假设的前提下推导出了洛伦兹变换(该变换下，麦克斯韦方程组是协变的)，但是爱因斯斯坦在不存在以太的前提下也推导出了和洛伦兹变换相同的公式，洛伦兹为了区别自己的推导，将爱因斯坦的结果叫作“相对论”。洛伦兹变换最初用来调和19世纪建立起来的经典电动力学同牛顿力学之间的矛盾，后来成为狭义相对论中的基本方程组。
在爱因斯坦的理解下，新的变换让运动把空间和时间结合到一起来了。爱因斯坦把他新的时空概念表述称为狭义相对论 (theory of special relativity)，这是因为空间和时间的区别不是绝对的，而是 “相对的”。称为“狭义的”, 是因为这个理论只处理以恒速运动的参考系。
狭义相对论的基本假设：(为了解释麦克斯韦方程组不协变)
(1) 相对性原理：所有的物理规律在惯性参考系下都是协变的，没有一个参考系是特殊的；
(2) 光速在真空中是保持不变的。
狭义相对论的应用：
(1) 同时的相对性；
(2) 尺缩效应；
(3) 慢钟效应。
狭义相对论的逻辑是非常自洽的，从两条基本的假设出发就可以重塑我们的时空观，这就好像欧几里得从几个基本的假设出发，构建了整个欧几里得的几何学一样完美。
【洛伦兹因子】\(\gamma=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \)，狭义相对论质量\(m=\displaystyle\frac{m_{0}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}\)，物体的总能量和动量改写为$$E=\gamma m c^{2}=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}} \quad\quad \mathbf{p}=\gamma m \mathbf{v}=\frac{m \mathbf{v}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}$$
光速为什么不能被超越？
应用
(1)描述的“切线近似”\( f(x) \approx f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)\)
卫星上的时间\( T \)地面时间 \( T^{\prime} \)之间的关系符合狭义相对论，称为时间膨胀：$$T^{\prime}=\frac{T}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}$$用\(u\)替换 \( v^{2} / c^{2}, \)则有 \((1-u)^{-1 / 2} \approx 1+u / 2 \quad, \) 因此有 $$T^{\prime}=T\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{-1 / 2} \approx T\left(1+\frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}}\right)$$误差比率与\(v^{2} / c^{2}\)成正比，系数为\(\displaystyle\frac {1}{2} \)。线性近似在工程中应用广泛，人们关心“输入改变量”和“输出改变量”之间的线性关系。用线性代数去替代复杂的方程非常必要，比如此问题中实际上还要考虑卫星的速度变化、观察视角、加速度、广义相对论效应、卫星重力与地表差异等等，叠加形成的公式要复杂得多，但取近似公式就相对简单。来自MIT-单变量微积分笔记
拓展学习：
(1) 10分钟速成课：物理学-狭义相对论
(2) 狭义相对论-彭士峰
广义相对论和引力波
广义相对论
【等效原理】：观察者不能利用实验手段判断加速度是来自引力还是来自加速参考系。恒星的引力与整个系统的加速度是等效的。
在牛顿力学里，把人受到重力的原因归结于地球对人的引力，爱因斯坦一直在想狭义相对论里并没有谈及到引力这件事，如何将引力也归结到自己的理论中？于是他提出了等效原理。人站在电梯里，如果电梯对人的支持力突然增大，那么可能的原因是什么？
(1) 地球的质量突然增大；
(2) 加速上升。
你在电梯里，你无法区分到底是上述哪种原因导致了支持力增大，所以二者是等效的。广义相对论中就不存在引力整个概念，因为它和加速度本身就是一回事儿。
光线弯曲
引力时钟变慢
有一个质量非常大的天体(质量为\( M\))，在其无限远处有一个点，对一个事情进行测量，其时钟示数是\(t_1\)，在有限远的地方进行测量，其时钟显示为\( t_2\)，根据广义相对论有$$ t_{2}=t_{1} \sqrt{1-\frac{2 G M}{c^{2} r}} $$(1) \(r>\displaystyle\frac{c^{2}}{2 GM}\)，那么\(t_2< t_1\)。据此可以解释【引力红/蓝移】现象，将\(t\)看作光子振荡周期，所以频率上看\(f_2>f_1\)，即光子从无限远处跑到有限远处频率会变大，即蓝移，反之从有限远到无限远处，光子频率会减小，即红移。
(2) \(r=\displaystyle\frac{c^{2}}{2 GM}\)，于是\(t_2 = 0\)，时间就凝固了，这个时候已经到了黑洞的边界了，对应【史瓦西半径】。
(3) \(r<\displaystyle\frac{c^{2}}{2 GM}\)，于是\( t_2 \)为虚数，时间的意义已经发生了很奇怪的变化，人们现在对黑洞里面的世界还不是很清楚，所以这相当于是进了黑洞了，这个人再也出不来了。
广义相对论和牛顿力学的类比
- 在牛顿力学里，一个物体在不受力的情况下会做匀速直线运动，但在广义相对论里，一个物体在不受力的情况下就会沿着所谓【测地线】运动(注：测地线geodesic，又称大地线或短程线，数学上可视作直线在弯曲空间中的推广)，这个测地线不是空间直线，而是一种时空直线。
- 地球上，真空管中铁球和羽毛同时落地，这一特点和物体质量无关；在引力场中，物体质量同样与运动无关，不论质量多大，都会沿着原有引力场(弯曲时空)中的测地线运动。
- 实际的时空曲率非常之小，只有在宇宙距离上才可以辨识。在相对小的尺度上，例如在太阳系，甚至在星系里，牛顿力学都十分适合。
参考资料：
(1) 光在引力场中会弯曲吗？黑洞里时间会停滞？李永乐老师讲广义相对论
引力波
一百多年前，33的爱因斯坦推翻了牛顿“让苹果掉在地上”的万有引力定律，发表了震惊世界的《广义相对论》，离经叛道地解释了宇宙中最核心的规律。广义相对论认为时空(这里的时空指三维空间+一维时间)就像一张巨大的橡皮膜，而在这个膜上放一个质量很大的物体比如地球，这张膜就会凹下去，也就是周边的时空发生了变形“弯曲”(物体的质量越大，造成的时空弯曲就越大)。再放一个物体比如太阳，又会使时空发生变形，地球就会沿着这个已经弯曲的时空运动，也就形成了“地球绕太阳转”的转态。基于这个理论，爱因斯坦后来提出，这种对于“时空”造成的“形变”可以在宇宙中以光速传播，并以引力波来命名；但他遗憾地表示，这种“形变”是在是太微小，人类想要测量是不可能的。
一百年来，爱因斯坦的广义相对论几乎通过了每一次的验证：
(1) 水星近日点的进动；
(2) 光线在引力场中的弯曲；
(3) 引力红移；
因此被认为是人类目前"最接近宇宙真相"的理论模型。但这个伟大的理论还差最后一块拼图，那就是爱因斯坦的预言“引力波”还一直没能被人类找到。2015年美国两个天文台同时探测到引力波信号
地球绕太阳公转产生的引力波功率仅为200W.
参考资料：
(1) 引力波探测的简单说明-姬扬-科学网
(2) 引力波事件GW150914的发现经过-姬扬-科学网
Fermilab合集
Why does light slow down in water?
问题：为什么光进入水中，速度会降低，出了水的时候速度又恢复了？
错误解释1：光的散射。
自选轨道耦合
最好能了解狄拉克方程，这个方程更显著地表现了自旋以及耦合的作用，先看这个介绍狄拉克方程的视频。