复旦大学-电动力学

参考资料: 

矢量分析

三重积和矢量变换

平行六面体的体积可以表示为$$A \cdot(B \times C)=B \cdot(C \times A)=C \cdot(A \times B)$$负号的三重积$$A \cdot(C \times B)=B \cdot(A \times C)=C \cdot(B \times A)$$混合积的行列式计算法$$A \cdot(B \times C)=\left|\begin{array}{lll} A_{x} & A_{y} & A_{z} \\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \\ C_{x} & C_{y} & C_{z} \end{array}\right|$$混合积的可交换性$$A \cdot(B \times C)=(A \times B) \cdot C$$矢量三重积(Vector triple product)$$A \times(B \times C)=B(A \cdot C)-C(A \cdot B)\\(A \times B) \times C=-C \times(A \times B)=-A(B \cdot C)+B(A \cdot C)$$注:上面第一个式子的证明有两种方法。一是将所有向量都写成\(\mathbf{i}\),\(\mathbf{j}\),\(\mathbf{k}\)的线性组合,那么叉乘就可以用行列式的方法来计算,这种方法繁琐,而且缺乏物理图像。第二种方法:空间中有一个平面由\(B\)和\(C\)张成,那么\(B\)和\(C\)的叉乘得到的新向量必然垂直于这个平面,换句话说任何与该新向量垂直的向量必然落在\(B\)和\(C\)张成的平面内,因此\(A \times(B \times C)\)必然可以写成\(B\)和\(C\)的线性组合,即\(A \times(B \times C)=mB+nC\)。显然根据行列式的性质\(A \cdot[A \times(B \times C)]=0\),参考之前的混合积的行列式计算法。于是\( m(A\cdot B)+n(A\cdot C) =0\),那么必然存在一个实数\(p\)使得\(m=p(A\cdot C) \),\(n=-p(A\cdot B)\),于是有$$A\times(B\times C) = p[(A\cdot C)B-(A\cdot B)C]$$带入特例,就知道\(p=1\)。另外也可以利用a more familiar mnemonic “BAC − CAB” is obtained, as in “back cab”(后面的出租车).

单位方向矢量$$\hat{r}=\displaystyle{\boldsymbol{r} }/{r}=\displaystyle\frac{x \hat{\boldsymbol{x}}+y \hat{\boldsymbol{y}}+z \hat{\boldsymbol{z}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$$三维向量绕着\( x \)轴旋转的线性变换$$\left(\begin{array}{l} \bar{A}_{y} \\ \bar{A}_{z} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cos \phi & \sin \phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} A_{y} \\ A_{z} \end{array}\right)$$注:如果将反对角线上两个正弦值前面的正负号变号(其实就是原矩阵的转置矩阵/逆矩阵),得到的矩阵变换矩阵就是二维平面上向量的旋转矩阵。

绕任意轴旋转的线性变换$$\left(\begin{array}{l} \bar{A}_{x} \\ \bar{A}_{y} \\ \bar{A}_{z} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll} R_{x x} & R_{x y} & R_{x z} \\ R_{y x} & R_{y y} & R_{y z} \\ R_{z x} & R_{z y} & R_{x z} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} A_{x} \\ A_{y} \\ A_{z} \end{array}\right)$$

 

梯/散/旋度/Nabla—高斯/斯托克斯定理

梯度

温度\( T(x, y, z) \)的偏导数为$$\mathrm{d} T=\left(\displaystyle\frac{\partial T}{\partial x}\right) \mathrm{d} x+\left(\displaystyle\frac{\partial T}{\partial y}\right) \mathrm{d} y+\left(\displaystyle\frac{\partial T}{\partial z}\right) \mathrm{d} z$$写成点积的形式$$\begin{aligned} \mathrm{d} T &=\left(\displaystyle\frac{\partial T}{\partial x} \hat{x}+\displaystyle\frac{\partial T}{\partial y} \hat{y}+\displaystyle\frac{\partial T}{\partial z} \hat{z}\right) \cdot(\mathrm{d} x \hat{x}+\mathrm{d} y \hat{y}+\mathrm{d} z \hat{z}) \\ &=(\nabla T) \cdot(\mathrm{d} \boldsymbol{l}) \end{aligned}$$其中\(\nabla T=\displaystyle\frac{\partial T}{\partial x} \hat{x}+\displaystyle\frac{\partial T}{\partial y} \hat{y}+\displaystyle\frac{\partial T}{\partial z} \hat{z}\)就是\(T\)的梯度。

梯度具有大小和方向,为了进行几何解释,可以写成$$\mathrm{d} T=\nabla T \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=|\nabla T||\mathrm{d}\boldsymbol{l}| \cos \theta$$当\( |\mathrm{d} \boldsymbol{l}| \)固定时,只有当\(  \nabla T\)和\( \mathrm{d} \boldsymbol{l}\)方向相同时,\(  \mathrm{d} T\)的变化才最大。

  • 梯度\(\nabla T   \)所指方向是函数\( T \)有最大增加的方向;
  • \( |\nabla T| \)给出沿这个最大增加方向的增率(增加速率);
  • 一个点梯度为零的意义:移动一点点,\( dT=0 \),一阶近似的系数为零。

\(\nabla  \)算子$$\nabla= \hat{\boldsymbol{x}} \frac{\partial}{\partial x}+\hat{\boldsymbol{y}} \frac{\partial}{\partial y}+\hat{\boldsymbol{z}} \frac{\partial}{\partial z}$$\(\nabla\)算子求梯度$$ \nabla T=\left(\hat{\boldsymbol{x}} \frac{\partial}{\partial x}+\hat{\boldsymbol{y}} \frac{\partial}{\partial y}+\hat{\boldsymbol{z}} \frac{\partial}{\partial z}\right) T $$\(\nabla\)算子求散度$$\begin{aligned} \nabla \cdot \boldsymbol{v} &=\left(\hat{\boldsymbol{x}} \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}+\hat{\boldsymbol{y}} \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}+\hat{\boldsymbol{z}} \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\right) \cdot\left(v_{x} \hat{\boldsymbol{x}}+v_{y} \hat{\boldsymbol{y}}+v_{z} \hat{\boldsymbol{z}}\right) \\ &=\displaystyle\frac{\partial v_{x}}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+\displaystyle\frac{\partial v_{z}}{\partial z} \end{aligned}$$\(\nabla\)算子求旋度$$\begin{aligned} \nabla \times \boldsymbol{v} &=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\boldsymbol{x}} & \hat{\boldsymbol{y}} & \hat{\boldsymbol{z}} \\ \partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\ v_{x} & v_{y} & v_{z} \end{array}\right| \\ &=\hat{\boldsymbol{x}}\left(\displaystyle\frac{\partial v_{z}}{\partial y}-\displaystyle\frac{\partial v_{y}}{\partial z}\right)+\hat{\boldsymbol{y}}\left(\displaystyle\frac{\partial v_{x}}{\partial z}-\displaystyle\frac{\partial v_{z}}{\partial x}\right)+\hat{\boldsymbol{z}}\left(\displaystyle\frac{\partial v_{y}}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial v_{x}}{\partial y}\right) \end{aligned}$$

梯度/散度/旋度的积规则二阶微分
(1)  梯度的散度:\(\nabla \cdot(\nabla T)  \)
(2)  梯度的旋度:\( \nabla \times(\nabla T) \)
(3)  散度的梯度:\(  \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{v})\)
(4)  旋度的散度:\(  \nabla \cdot(\nabla \times \boldsymbol{v})\)
(5)  旋度的旋度:\(\nabla \times(\nabla \times \boldsymbol{v})  \)

讨论:
(1)  \(\nabla \cdot(\nabla T)  \)简写为\(\nabla^{2} T  \),称为\(T  \)的拉普拉斯;$$ \nabla^2 T=\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2} $$矢量的拉普拉斯\( \nabla^{2} \boldsymbol{v} \),$$\nabla^{2} \boldsymbol{v} \equiv\left(\nabla^{2} v_{x}\right) \hat{\boldsymbol{x}}+\left(\nabla^{2} v_{y}\right) \hat{\boldsymbol{y}}+\left(\nabla^{2} v_{z}\right) \hat{\boldsymbol{z}}$$(2)  梯度的旋度总是零$$\nabla \times(\nabla T)=0$$对势函数求梯度,然后再求旋度,可以理解为既要沿着一个方向走,又要沿着这个方向的垂直方向走,结果就是动不了了。

注:事实上,该证明的关键是交叉求导的相等性\(\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)\),而二维场的旋度$$ \operatorname{curl} \mathbf{F}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F}(x, y)=\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k} $$中\(F_x=\displaystyle\frac{\partial T}{\partial x},\quad F_y=\displaystyle\frac{\partial T}{\partial y} \)。显然二者是等价的。

(3)  \(  \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{v})\)物理上用得很少,注意它不是矢量的拉普拉斯。

(4)  \(  \nabla \cdot(\nabla \times \boldsymbol{v})=0\)

物理图像:一圈电流环路上套着很多磁场的小环,因为电流产生的磁场是有旋场,而磁场的旋度正好对应电流。如果我们先对磁场作一个旋度,那么得到的就是电流,而这个电流和这里的磁场环一样,都是没有源的,找不到“头”和“尾”,因此再对电流做散度,结果为零。(可能不准确)
证明:

  • 方法-1,写出来,硬酸,参考旋度场的散度为零的证明—PengTitus
  • 方法-2,根据三重积的性质,有\(\nabla \cdot(\nabla \times \boldsymbol{v})=(\nabla \times \nabla) \cdot \boldsymbol{v}\),根据下面的式子可知,Nabla算子算子叉乘Nabla算子结果为零。$$ \nabla \times \nabla=\left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \end{array}\right| $$

(5)  \( \nabla \times(\nabla \times \boldsymbol{v})=\nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{v})-\nabla^{2} \boldsymbol{v} \)
注:这一条结合我们先前\( A \times(B \times C)=B(A \cdot C)-C(A \cdot B) \)这个公式很容易推导出来,注意这个公式是老师要求记住的。

思考:我们上面提到了不仅可以将拉普拉斯算子作用在标量上,也可以将这个算子作用在矢量上。拉普拉斯算子作用在标量上,最终得到的是一个标量;我们可以将原始的标量看作是零阶张量,然后求梯度,相当于升阶到一阶张量(向量),然后求散度,相当于降阶到零阶张量,即最终结果同样是标量。拉普拉斯算子作用在矢量上,同样地,先是对矢量求梯度,那么升阶到二阶张量,然后求散度,降阶到一阶张量。其实拉普拉斯算子无论是作用在标量还是矢量上,作用过程都是先升阶再降阶,于是最终结果的阶数和原始数据的阶数是一致的。

\(  \nabla\)算符同时具有矢量性和微分性

  • 微分性:不可以随便移动位置,并且它如果作用在两个量的组合上,那么它就要分别作用到两个量上(类似求导)。
  • 矢量性:它是一个矢量,不能像常数那样随意提前提后,要有一定的规律,这个规律包括:
    • 点乘叉乘是矢量与矢量之间的运算,而微分算符只能作用到标量上;
    • 混合积的轮转公式和三重积公式。

梯度的基本定理$$\displaystyle\int_{a }^{b}(\nabla T) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=T(b)-T(a)$$势函数的梯度的积分和路径无关。
几何解释:假设你想测量埃菲尔铁塔的高度。你可以攀限塔梯,用一把尺子测量每一阶梯的高度,然后把它们加在一起,或者你可以用一个测高仪测量塔顶和塔底的读数,然后把两个读数相减;两种方法的结果应该一样(这就是基本定理)。

散度的基本定理(高斯散度定理,电磁学中的高斯定律)$$\displaystyle\int_{V}(\nabla \cdot \boldsymbol{v}) \mathrm{d} \tau=\displaystyle\oint_{S} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{a}$$几何解释:如果\( \boldsymbol{v} \)代表一个不可压缩流体的流,那么它的通量就是单位时间内流出表面的总的流量。现在散度是矢量从某点“散出”的量度,即一个具有高散度的地方像一个“水龙头”,向外流出液体。如果在一个体积内存在大量的水龙头,那么这个体积边界流出的总通量就等于这些水龙头流出量的和。实际上,我们有两种方法计算总的流出量:(1) 把所有龙头的流出量加在一起;(2) 在边界的每一点测流量,然后相加。$$ \oint \text { 体积内所有龙头的流量 }=\oint \text { 流出表面的流量 } $$

旋度的基本定理(斯托克斯定理)$$\int_S(\nabla \times \boldsymbol{v}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{a}=\oint_L \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}$$
一个(向量)函数的旋度对一个面的积分 = 这个函数在面的围线上的环路积分。
几何解释:如果水面上有一个漩涡,如果漩涡越明显的话(环量circulation越大),那么我们将一个小木轮放在漩涡中心的话,它的旋转就会越快。托克斯定理相当于是说,小木轮的转速是由边缘的切向力(更准确地说是围绕中心的力矩)沿着小木轮外围的路径积分值大小决定的。
推论:

  • \(\displaystyle\int_S(\nabla \times \boldsymbol{v}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{a}\)仅依赖于边界线\(L\),而与所选取的面\(S\)无关;
  • \(\displaystyle\oint_S(\nabla \times \boldsymbol{v}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{a}=0\)对任何闭合面都成立,因为闭合面的边界像气球的嘴一样,收缩为一个点。

注:
(1) 要对比学习上面三个定理,找到它们的异同点。
(2) George Stokes曾经担任英国皇家学会会长,其在光学(斯托克斯发光)、流体力学(纳维-斯托克斯方程)、数学(斯托克斯定理)。

传统分部积分延伸到矢量微积分

传统的分部积分\( \displaystyle\int_{a}^{b} f\left(\displaystyle\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}\right) \mathrm{d} x=-\displaystyle\int_{a}^{b} g\left(\displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}\right) \mathrm{d} x+\left.f g\right|_{a} ^{b} \)借助散度定理,对一个体积有$$\nabla \cdot(f \boldsymbol{A})=f(\nabla \cdot \boldsymbol{A})+\boldsymbol{A} \cdot(\nabla f)$$进行积分$$\displaystyle\int \nabla \cdot(f \boldsymbol{A}) \mathrm{d} \boldsymbol{\tau}=\displaystyle\int f(\nabla \cdot \boldsymbol{A}) \mathrm{d} \tau+\displaystyle\int \boldsymbol{A} \cdot(\nabla f) \mathrm{d} \tau=\displaystyle\oint f \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{a}$$即$$\displaystyle\int_{V} f(\nabla \cdot \boldsymbol{A}) \mathrm{d} \tau=-\displaystyle\int_{V} \boldsymbol{A} \cdot(\nabla f) \mathrm{d} \tau+\displaystyle\oint_{S} f \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{a}$$

 

极/球/柱坐标系

极坐标系

\(\left\{\begin{array}{l} x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \end{array}\right.\),坐标为\( (r, \theta) \)的任意点的位置矢量为$$\vec{R}=r \cos \theta \hat{x}+r \sin \theta \hat{y}$$新坐标系的基矢$$ \begin{aligned} &\hat{r}=\frac{\partial \vec{R}}{\partial r}=\cos \theta \hat{x}+\sin \theta \hat{y} \\ &\hat{\theta}=\frac{\partial \vec{R}}{\partial \theta} \frac{1}{r}=-\sin \theta \hat{x}+\cos \theta \hat{y} \end{aligned} $$于是用矩阵的形式表示为$$ \left\{\begin{array}{l} \hat{r}=\cos \theta \hat{x}+\sin \theta \hat{y} \\ \hat{\theta}=-\sin \theta \hat{x}+\cos \theta \hat{y} \end{array} \quad \Rightarrow\left[\begin{array}{l} \hat{r} \\ \hat{\theta} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \hat{x} \\ \hat{y} \end{array}\right]\right. $$也就是通过矩阵\(  A\)作用,将原来的直角坐标的基矢量转变成极坐标系下的基矢量。那么通过矩阵\( A \)的逆矩阵,也可以将极坐标系下的基矢量转换回去,由于\( A \)本身是正交矩阵,所以它的逆矩阵就是它的转置。于是有$$\left[\begin{array}{l} \hat{x} \\ \hat{y} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \hat{r} \\ \hat{\theta} \end{array}\right]$$注意,变换前后都是模长为一的基矢量,这种变换矩阵并不反映变换前后实际矢量的大小变化。如果我们将\(\left\{\begin{array}{l} x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \end{array}\right.  \)都写成全微分的形式,然后改写成矩阵的形式有$$ \left\{\begin{array}{l} d x=d(r \cos \theta)=\cos \theta d r+(-r \sin \theta) d \theta \\ d y=d(r \sin \theta)=\sin \theta d r+r \cos \theta d \theta \end{array} \Rightarrow\left[\begin{array}{l} d x \\ d y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} d r \\ d \theta \end{array}\right]\right. $$

球坐标系(参考知乎)也可以通过类似极坐标的处理方法,我们有\( \left\{\begin{array}{l} x=r \sin \theta \cos \phi \\ y=r \sin \theta \sin \phi \\ z=r \cos \theta \end{array}\right. \)那么坐标为\( (r, \theta, \phi) \)的任意点的位置矢量为\( \vec{R}=r \sin \theta \cos \phi \hat{x}+r \sin \theta \sin \phi \hat{y}+r \cos \theta \hat{z} \)$$\begin{array}{lll} \hat{r}=\displaystyle\frac{\partial \vec{R}}{\partial r}=\sin \theta \cos \phi \hat{x}+\sin \theta \sin \phi \hat{y}+\cos \theta \hat{z} \\ \hat{\theta}=\displaystyle\frac{\partial \vec{R}}{\partial \theta} \displaystyle\frac{1}{r}=\cos \theta \cos \phi \hat{x}+\cos \theta \sin \phi \hat{y}-\sin \theta \hat{z} \\ \hat{\phi}=\displaystyle\frac{\partial \vec{R}}{\partial \phi} \displaystyle\frac{1}{r \sin \theta}=-\sin \phi \hat{x}+\cos \phi \hat{y} \end{array}$$注:上式我们根据图,然后投影,再归一化也能得到一样的结果。

用矩阵表示为$$\left[\begin{array}{c} \hat{r} \\ \hat{\theta} \\ \hat{\phi} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\ \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \\ -\sin \phi & \cos \phi & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \hat{x} \\ \hat{y} \\ \hat{z} \end{array}\right]$$对线性变换矩阵取逆,那么逆变换为$$\left[\begin{array}{l} \hat{x} \\ \hat{y} \\ \hat{z} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \phi & \cos \theta \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \sin \phi & \cos \phi \\ \cos \theta & -\sin \theta & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \hat{r} \\ \hat{\theta} \\ \hat{\phi} \end{array}\right]$$即\(  \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \hat{x}=\sin \theta \cos \phi \hat{r}+\cos \theta \cos \phi \hat{\theta}-\sin \phi \hat{\phi} \\ \hat{y}=\sin \theta \sin \phi \hat{r}+\cos \theta \sin \phi \hat{\theta}+\cos \phi \hat{\phi} \\ \hat{z}=\cos \theta \hat{r}-\sin \theta \hat{\theta} \end{array}\right.\)

直角坐标的全微分\(\mathrm{d} \boldsymbol{l}=\mathrm{d} x \hat{\boldsymbol{x}}+\mathrm{d} y \hat{\boldsymbol{y}}+\mathrm{d} z \hat{\boldsymbol{z}}  \)换成球坐标,写成$$\mathrm{d} \boldsymbol{l}=\mathrm{d} r \hat{ \boldsymbol{r}}+r \mathrm{d} \theta \hat{\boldsymbol{\theta}}+r \sin \theta \mathrm{d} \phi \hat{\boldsymbol{ \boldsymbol{\phi}}}$$所以微小体积元$$\mathrm{d} \tau=\mathrm{d} l_{r} \mathrm{d} l_{\theta} \mathrm{d} l_{\phi}=r^{2} \sin \theta \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \phi$$注:这里表示空间中任意一点,移动\( \mathrm{d} \boldsymbol{l} \)对应的直角坐标系和求坐标系中的体积变化的比例关系。

 

 

狄拉克函数

狄拉克\(\delta \)函数的基本性质可以参考我之前的笔记[狄拉克函数的性质—傅里叶变换及其应用]。
具体描述:一个物体,除了某个质点外,密度处处为零,这个质点的密度是无限大,但是对这个物体在密度函数上进行体积分则是有限的,为这个物体的质量。

三维\( \delta \)函数$$\delta(\boldsymbol{r})=\delta(x) \delta(y) \delta(z)$$其中\(\boldsymbol{r}\equiv x \hat{\boldsymbol{x}}+y \hat{\boldsymbol{y}}+z \hat{\boldsymbol{z}}\)$$\displaystyle\int_{\text {整个空间}} \delta(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} \tau=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \delta(y) \delta(z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z=1$$推广$$\displaystyle\int_{\text {整个空间 }} f(\boldsymbol{r}) \delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}) \mathrm{d} \tau=f(\boldsymbol{a})$$注:格里菲斯的书中,\(\delta^3(\boldsymbol{r})=\delta(x) \delta(y) \delta(z)\)。

矢量函数\( \boldsymbol{v}=\displaystyle\frac{1}{r^{2}} \hat{\boldsymbol{r}} \),那么对任意距离中心点\(R\)范围内的质点的球体来说,要计算算该矢量势下的通量,根据高斯散度定理,有两种方法:
方法-1:先计算散度,再对散度进行体积分。这里用到了前面提到的球坐标系中的散度公式:$$\nabla \cdot \boldsymbol{v}=\displaystyle\frac{1}{r^{2}} \displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \displaystyle\frac{1}{r^{2}}\right)=\displaystyle\frac{1}{r^{2}} \displaystyle\frac{\partial}{\partial r}(1)=0$$
散度直接为零,都不用下一步进行积分了,于是我们得出通量为零。

方法-2:直接对矢量势进行面积分。$$ \oint \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{a}=\int\left(\frac{1}{R^2} \hat{\boldsymbol{r}}\right) \cdot\left(R^2 \sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \phi \hat{\boldsymbol{r}}\right)=\left(\int_0^\pi \sin \theta \mathrm{d} \theta\right)\left(\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \boldsymbol{\phi}\right)=4 \pi $$积分结果不为零。

两种方法的结果矛盾,方法-2的结果才是正确的。这是因为所有通量的贡献都来自\(r=0\)的点,该点的散度无穷大。从数学的角度看,\(\delta \)函数不是严格意义上的函数,必须在积分式中才有意义,而方法-1采用的是微分的形式,所以出现了错误的结论。

利用方法-2的结果,以及高斯散度定理,我们有$$\oint \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{a}=\int_{V} \nabla \cdot \boldsymbol{v} \mathrm{d} \tau=4 \pi=\int_{V} \delta(\boldsymbol{r}) 4 \pi \mathrm{d} \tau$$

因此该矢量势函数散度的正确结果为$$\nabla \cdot\left(\displaystyle\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\right)=4 \pi \delta(\boldsymbol{r})$$方法-3:下面的等式两边消去\(Q / \epsilon_0\)即得。参考[用狄拉克 delta 函数表示点电荷的散度-小时百科]$$ \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \boldsymbol{\nabla} \cdot \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}=\frac{Q \delta(\mathbf{r})}{\epsilon_0} $$

 

矢量场理论

亥姆霍兹定理】(更准确的说是Helmholtz decomposition):已知一个矢量场的旋度、散度和边界条件就可以唯一确定一个矢量场。在电动力学中,我们一般要求场在无限远处(远离所有电荷)趋于零,因此一般都可以保证电场或磁场可以由已知的散度和旋度唯一确定。

Any sufficiently smooth, rapidly decaying vector field in three dimensions can be resolved into the sum of an irrotational (curl-free) vector field and a solenoidal (divergence-free) vector field. 任意足够光滑、快速衰减的三维向量场(其实就是上面的亥姆霍兹定理)可分解为一个无旋向量场和一个螺线向量场的和,这个过程被称作亥姆霍兹分解。也就是说任意满足条件的矢量场\(  \)都可以表示为一个标量(势)的梯度和一个矢量(势)的旋度之和:$$ \boldsymbol{F}=-\nabla V+\nabla \times \boldsymbol{A} $$势函数:可以分为标量势(Scalar potential)和矢量势(Vector potential)。

Helmholtz decomposition的应用:由Helmholtz分解理论可知,一个矢量场可以被分解成一个无旋的标量场和一个无散的矢量场.而在各向同性介质中,纵波是无旋场,横波是无散场,因此根据Helmholtz分解理论,如果只考虑各向同性的介质,那么对地震波场分别求取散度和旋度,可以提取出纯纵波和纯横波。(参考[基于散度和旋度纵横波分离方法的改进—地球物理学报]。横波无源,纵波无旋,这句话存疑,来自资料12)

如果一个矢量场\(\boldsymbol{F}\)的旋度处处为零,那么该矢量场可以表示为一个标量势\(V\)的梯度:$$ \nabla \times \boldsymbol{F}=0 \Leftrightarrow \boldsymbol{F}=-\nabla V $$定理-1:无旋场,下列条件是等价的

  • 对任何一点有\(\nabla \times \boldsymbol{F}=0\)
  • 对任何给定的端点,\(\displaystyle\int_a^b \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{l}\)是不依赖于路径的
  • 对任何闭合路径,\(\displaystyle\oint \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{l}=0\)
  • \(\boldsymbol{F}\)是一个标势的梯度,\(\boldsymbol{F}=-\nabla V\)

如果一个矢量场\(\boldsymbol{F}\)的散度处处为零,那么该矢量场可以表示为一个矢量势\(\boldsymbol{A}\)的梯度:$$ \nabla \cdot\boldsymbol{F}=0 \Leftrightarrow \boldsymbol{F}=\nabla \times \boldsymbol{A}$$定理-2:无散场,下列条件是等价的

  • 对任何一点有\(\nabla \cdot \boldsymbol{F}=0\)
  • 对任何给定边界的面积分\(\displaystyle\int \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{a}\)是不依赖于所选面的
  • 对任何闭合面,\(\displaystyle\oint \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{a}=0\)
  • \(\boldsymbol{F}\)是一个矢量的梯度,\(\boldsymbol{F}=\nabla \times \boldsymbol{A}\)

参考资料:
(1) 是否已知一个矢量场的散度和旋度就可以唯一确定一个矢量场?—知乎
(2) 亥姆霍兹定理—知乎    科学巨匠亥姆霍兹—返朴
(3) Helmholtz decomposition—Wiki

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