积分变换

傅里叶级数

周期函数的傅里叶级数

• 函数内积的正交性：对于函数\(f(x), \quad g(x), \quad x \in[a，b]\)，如果$$(f，g) \equiv \int_{a}^{b} f^{*}(x) g(x) d x=0$$那么说\(f(x)\)与\(g(x)\) 在该区间上的内积为零，于是正交。
• 三角函数簇\(\left\{1, \cos \displaystyle\frac{k \pi x}{l}, \sin \frac{k \pi x}{l} ; k=1,2, \cdots\right\}\)的正交关系$$ \begin{aligned} &\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} \cos \frac{k \pi x}{l} \cos \frac{n \pi x}{l} d x=\delta_{k n}, \quad \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} \sin \frac{k \pi x}{l} \sin \frac{n \pi x}{l} d x=\delta_{k n} \\ &\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} \cos \frac{k \pi x}{l} \sin \frac{n \pi x}{l} d x=0, \quad \frac{1}{2 l} \int_{-l}^{l} \cos \frac{k \pi x}{l} \cdot 1 d x=\delta_{k 0} \end{aligned} $$
• 周期函数的傅里叶级数展开\(\left\{1, \cos \displaystyle\frac{k \pi x}{l}, \sin \frac{k \pi x}{l} ; k=1,2, \cdots\right\}\)
  周期为\(2l \)的函数(\(f(x)=f(x+2 l)\))构成的函数空间上的正交完备基底$$ \begin{aligned} f(x) &=a_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[a_{k} \cos \frac{k \pi x}{l}+b_{k} \sin \frac{k \pi x}{l}\right] \\ a_{0} &=\frac{1}{2 l} \int_{-l}^{l} f(x) d x \\ a_{k} &=\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos \frac{k \pi x}{l} d x, \quad b_{k}=\frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin \frac{k \pi x}{l} d x \end{aligned} $$只要满足：
  • • \(f(x)\)在一个周期上只有有限个第一类间断点(左右极限都存在)；
    • \(f(x)\)在一个周期上只有有限个单调区间。
• 傅里叶级数展开的复指数函数形式，\(\left\{e^{i k \pi x / l} ; k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots\right\}\)为周期为\(2l\) 的函数构成的函数空间上的正交完备基底$$ \frac{1}{2 l} \int_{-l}^{l} e^{-i k \pi x / l} e^{i n \pi x / l} d x=\delta_{k n} $$ $$ \begin{aligned} &f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{k} e^{i k \pi x / l} \\ &c_{k}=\frac{1}{2 l} \int_{-l}^{l} f(x) e^{-i k \pi x / l} d x \end{aligned} $$

有限区间上函数傅里叶级数

依据边界条件对有限区间上函数进行相应的延拓而成新的周期函数，该新的周期函数在给定区间上与原函数完全一致，且在给定 区间边界处自然满足给定边界条件。

 

泊松求和--补充