书籍和工具： 在线绘制交换图 Seven Sketches in Compositionality: An Invitation to Applied Category Theory  Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories category theory—nLab 应用范畴论的网站 Category Theory: The Beginner's Introduction   2 MIT— 18.S097: Programming with Categories 范畴和态射 【范畴】是由一些对象及其间的箭头(称为态射，或者关系)组成的结构，通常用来描述某一类数学对象及其间的映射全体。范畴为数学提供了一个模板，将不同内容输入模板，就能重建一个数学领域。例子如下： 集合范畴由所有集合和它们之间的映射(关系)组成； 向量空间范畴由所有向量空间和它们之间的线性映射组成； 群范畴由群和它们之间的关系(群同态)组成； 拓扑空间范畴由拓扑空间和它们之间的关系(连续映射)组成； 范畴论的特点： 范畴论是一门关于箭头(态射)的科学，箭头是用来连接两个点(对象)的。 范畴论是一门元关系(meta-relation)学科。 不同领域的问题，如果具有相似的关系，在范畴论便可以统领(套路)。 借助范畴论的各种套路，可以把某个领域的问题转化为其它领域的问题(函子)。 范畴的定义： 函子： 参考香蕉空间…

  交换/结合/分配律 【交换律】(Commutative property )：是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立，则称这两个元素为在此运算下是"可交换"的。 在集合\(S\)的一个二元运算 \(*\) 被称之为"可交换"的，若\(\forall x, y \in S, x * y=y * x\)； 若称\(x \)在 \(*\) 下和\(y\)可交换，即表示\(x* y=y * x\)； 二元函数\(f: A \times A \rightarrow B\)被称之为可交换的，若\(\forall x, y \in A, f(x, y)=f(y, x)\)。此函数图像会对\(y=x\)对称。 可交换的例子： 实数的加法、乘法，复数的乘法； 更广义地说，在一个域中，加法和乘法都是可交换的； 集合的交集与并集、"与"和"或"的可交换的逻辑运算； 加法在每个向量空间和每个代数中都是可交换的； 阿贝尔群的群运算； 域的加法与乘法都是可交换的； 交换环是一个乘法为可交换的环。 不可交换的例子： 洗衣和干衣；…

视频    笔记        Hyperphysics-Quantum mechanics Measurements in Quantum Mechanics 陈童的量子新世界 深度科普|从线性代数到量子力学 简明量子力学-推荐 量子力学-ustc-潘建伟 量子力学导论—知乎专栏 Graduate Quantum Mechanics Lectures 演示动画Applet    Brant Carlson视频 量子场论-参考余钊焕老师讲义   波函数 When does quantum mechanics apply? this is not a simple question. When angular momentum \(L \sim \hbar\) When uncertainties \(\Delta p…

物理 硅光 常见材料的折射率  Si：3.882 @632.8 nm SiO2：1.457@632.8 nm Si3N4：2.023@632.8 nm Al2O3：1.770@632.8 nm 技术挑战(Technological Challenges) Si的发光非常inefficient，因为它是间接带隙的材料，尽管人们采用各种方法去get around这个缺陷，但是基于Si的laser或者放大器的性能和其他基于其他材料的(比如GaAs或者InP)的还有不小的差距； Si的禁带宽度还是太大了，使其不能探测通讯波段的1.3 μm和1.5 μm的光； Si没有二阶非线性效应，使得这个材料不能实现electro-optic modulators (EOM)； The heat dissipated by a laser source on a chip might well be more than is convenient. 目前可能的是办法是制备hybrid devices，由三五族的半导体(直接带隙，有electro-optic properties，比如InP)来实现photonic functions，将其放置在含有各种electronic components的silicon chip上。一类技术基于外延再生长程序，该程序很复杂并且经常大大降低产量。另一种方法是应用复杂的键合工艺将包含波导的硅芯片与提供光学增益的磷化铟芯片结合起来[17]。在这里，需要两个芯片之间的精确对齐。Both technical approaches,…

视频    复旦讲义    格里菲斯电动力学笔记 (more…)

质量：从某种意义上讲, 质量改变了空间的性质, 因为它产生了一个贯 穿整个空间的力场。这个场成了现代物理学的一个中心概念。[mathjax] 等效原理：质量 \(m\) 既可以是惯性的测量，也可以是场强(field strength) 的测量。 这两种角色在概念上是有区别的, 因此我们用不同的符号区分它们： 就惯性质量而言，\(F=m_{\text {惯 }} a\)，它是物体对外力响应的量度。 引力质量出现在\(\gamma m_{\text {引 }} / r^{2}\)，它是产生场强的量度。 实验证实，它们具有相同的数值\(m_{\text {惯 }}=m_{\text {引 }}\)，即等效原理。 最小作用量原理，作用量可以是最大值而不是最小值，所以对语言挑剔的人可能会使用"恒定作用量原理"(principle of stationary action)。 拉格朗日最小作用量原理：拉格朗日量 = 动能 - 势能。我们可以沿着任意虚拟的路径计算这个量。路径的"作用量"是在整个路径上累积的拉格朗日量。如果我们改变路径，相应的作用量也将发生变化。正确的路径是作用量最小的路径。 牛顿定律的正则化：哈密顿量 = 动能 + 势能，其实就是总能量，但这种形式要求哈密顿量能够用"正则变量"表示，即用坐标\( q\)和它的"正则共轭"动量\(p\)来表示。于是我们把哈密顿量表示为\(H(p,q)\)，现在牛顿定律可以用哈密顿共轭方程组表示为$$\begin{aligned} &\dot{q}=\frac{\partial}{\partial p} H(p, q) \\ &\dot{p}=-\frac{\partial}{\partial…

天体运行 开普勒发现了椭圆轨道，不过当时并没有人能给出解释，直到牛顿时代才揭开了其中的奥秘。根据牛顿的万有引力定律可以计算出，两个天体组成的系统，它们绕质心运行的轨道只可能有三种情况：椭圆、抛物线、双曲线，其中圆轨道是椭圆轨道的一种特例。 行星轨道为什么是椭圆？可以参考下面的资料： (1) 科普时报 (2) Planetary orbits and barycenters (3) 地球不是绕着太阳转？八大行星和太阳，绕着一个看不见的点旋转 (4) Eccentricity—数学乐   圆锥曲线 【圆锥曲线】二次曲线方程与形状的关系—知乎 抛物线为什么有焦点？—知乎 巨大的数学谜团 —— 椭圆曲线，代数、几何和数论的完美结合 圆锥曲线这个词古希腊的时候就被阿波罗尼斯提出，也有以他名字命名的"阿波罗尼斯圆"。为什么用圆锥曲线给这一类曲线命名？因为可以通过切割圆锥的办法得到。 矩阵表示 在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的图像可以表示圆锥曲线，并且所有圆锥曲线都以这种方式引出。方程有如下形式$$ A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0 $$其中参数\(A\)、\(B\)和\(C\)不全为零。可以用如下的矩阵来等价表示$$ \left[\begin{array}{ll} x & y \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} A & B / 2 \\ B / 2 &…

Radiometric到Photometric的转换 Radiometry- deals with the detection and measurement of electromagnetic radiation across the total spectrum. Photometry - subfield of radiometry; radiometric power scaled by the spectral response of the human eye.  下标"e"表示energetic；下标"v"表示visual。 上面是scotopic and the photopic curves of spectral luminous efficacy (non-normalized values)，我们常说的Luminous efficiency function是归一化后的值，而且是没有量纲的； scotopic vision…