数学从主要领域来讲，有几何学(欧几里得几何学，非欧几里得，派生的微分几何，拓扑学也可以放在里面)，代数学(初高中方程，研究一元高次方程有没有根公式)。五次和五次以上的一般一元方程，不能用求根公式求解，除非方程的群是可解群(充要条件，伽罗瓦证明的)，伽罗瓦的群论、域论。伽罗瓦的研究成果使得代数学从经典的研究方程的根转变为现代的(近世代数学)研究代数系统的结构和态射为中心，所谓代数系统是指具有代数运算的集合，研究代数系统的结构，群、环、域等等以及群之间、环之间的映射，这映射还要保持运算，叫作“态射”。分析学：牛顿和莱布尼兹创立的微积分在工程上有广泛应用。
注：陆俊的近世代数讲义，参考笔记1，2。

代数系统(Algebraic structure)也称代数结构，通常有三个组成部分：
(1) 一个集和(研究对象)，称为代数的载体；
(2) 定义在载体上的若干运算；
(3) 载体的若干特异元素(如幺元，零元，逆元等)，称为代数常数。(对有些代数可以不含或不考虑代数常数)

什么是数学的思维方式？

高中的时候做题有用到数形结合是一种数学的思维方式，但是其实数学的思维方式是一个整体的，而不是某一部分或者说局部的。

数学的概念很多，数学是需要证明的。

• 观察客观现象(纷繁复杂)，提出要研究的问题，从这角度抓住主要特征；
• 抽象出概念，或者建立数学模型；
• 探索要运用很多方法，比如直觉(各种经验)，在一个具体例子中解剖(解剖麻雀，麻雀虽小五脏俱全)，类比，数学归纳法(高中学的数列)，联想，逻辑推理；
• 猜测，可能有的规律；
• 论证，论证只能用公理、定义和已经证明的定理，公理也就是大家的共识，比如两点决定一条直线，抽象的概念就是定义。论证的过程需要逻辑推理和计算；
• 揭示事物的内在规律(井然有序)。

1543年哥白尼《天体运行论》，1609年，1619年，开普勒分别发表《新天文学》，《世界之和谐》。除了对天体运动的研究，还有对地面物体运动的研究，比如一个向空中发射的炮弹，需要求解：
(1) 瞬时速度；
(2) 求运动曲线的切线；
(3) 求函数的最大值和最小值；
(4) 求求曲线长度，曲线围成的面积，曲面围成的体积。
解决这些问题是现实世界的客观需求，1666年，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，解决了这四大问题。

例子：如果路程为\(s= 5t^2\)，求\(t\)时刻的速度(瞬时速度)，利用\(\Delta S/\Delta t\)可求解出\(\Delta t\)时间内的平均速度为\(10t+ 5\Delta t\)。牛顿认为\(  \Delta t\)越小，就越接近\(t\)时刻的瞬时速度，根据运动的经验，他直接忽略含有\(\Delta \)的项，即得到\(10t\)。

最终结果虽然是对的，但是我们开始假定\( \Delta t\)不等于零，后面又认为\( \Delta t\)等于零而省去，逻辑上有矛盾。在之后的数学家通过各种努力想说清楚这个问题。

1841年，柯西说，让\( \Delta t\)无限趋近于零(无限过程)，但不等于零这个极限时的速度就是瞬时速度，他认为\(\left|\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}-10 t\right|\)要多小有多小。

柯西的要多小有多小需要用数学的语言去精确刻画，于是1861年，魏尔斯特拉斯用\( \varepsilon-\delta\)语言完成了这部分的工作。数学上如何处理无限的问题？

定义1(函数的极限)：设函数\(f(x)\)在\(x_0 \)附近有定义(但是在\(x_0\)可以没有定义)，如果有一个常数\(c\)使得对任意给定的\(\varepsilon>0\)，都存在\(\delta>0\)对于一切满足\(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\)的\(  x\)都有\(|f(x)-c|<\varepsilon\)，我们就称\(c\)是\(f(x)\)当\(x \rightarrow x_{0}\)时的极限，记作$$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=c$$极限是数学上处理无限过程的强有力的工具，导数的概念也可以用极限精确的表示出来。于是微积分在严密化就有了巨大进步。

定义2(数列的极限)：实数数列\((x_n)\)，读过有一个常数\(c\)，对于任给的\(\varepsilon>0\)，有存在一个正整数\(N\)，使得只要\(n>N\)，就有\(\left|x_{n}-c\right|<\varepsilon\)，那么称\(C\)是数列\((x_n)\)的极限，记作\(\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=c\)。