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正(余)弦交流电路

 1. 电路中的能量，可以分为电磁能量和非电磁能量，其中电磁能量又可以分为磁场能量和电场能量。
2. 电路中可能存在“能量转换”和“能量交换”两个物理过程，前者是指电能和非电能之间的转换，常用电源和电阻来模拟，在这个过程中要消耗或产生的电能称为有功。能量交换是指电场能量与磁场能量的交换，常用电感和电容来模拟，在这个过程中电能并没有被消耗或增加，电工学中称该电路消耗无功。
3. 电阻的功率$I^{2}R$，电感存储的能量为$\frac{L{I}^2}{2}$，电容存储的能量为$\frac{Q^2}{2C}$。

从平均功率的角度来看，有效电压/电流可以认为是交流电路最大电压/电流除以$\sqrt{2}$，推导如下：(其中$V(t)$是随时间变换的电源电压)$$\frac{{\int }_0^{\frac{2\pi }{\omega }}{\sin }^2(\omega t)}{\frac{2\pi }{\omega }}=\frac{1}{2}$$RLC电路的微分方程为：$$RI(t)+L\frac{dI}{dt}+\frac{1}{C}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\tau =t}I(\tau )d\tau =V(t)$$电源电压为常数时，整个式子对$t$求导得到：$$\frac{d^2}{d{t}^2}I(t)+\frac{R}{L}\frac{d}{dt}I(t)+\frac{1}{LC}I(t)=0$$可以改写为：$$\frac{d^2}{d{t}^2}I(t)+2\alpha \frac{d}{dt}I(t)+{\omega }_0^{2}I(t)=0$$其中$\alpha$称为“衰减量”，用于衡量当移除外部输入后，此电路的瞬态响应衰减的速率，${\omega }_0$为角共振频率(共振频率)：$$\alpha =\frac{R}{2L},{\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$阻尼系数$\zeta$是另一个常用的参数，定义为$\alpha$和${\omega }_0$的比值：$$\zeta =\frac{\alpha }{{\omega }_0}=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}$$

瞬态响应

根据不同的阻尼系数$\zeta$的值，该微分方程的解法有三种不同的情况，分别为欠阻尼$\zeta <1$，过阻尼$\zeta >1$以及临界阻尼$\zeta =1$。该微分方程的特征方程为：$s^2+2\alpha s+{\omega }_0^2=0$，方程的根为：$$\begin{array}{l}{s}_1=-\alpha +\sqrt{{\alpha }^2-{\omega }_0^2}\\ s_2=-\alpha -\sqrt{{\alpha }^2-{\omega }_0^2}\end{array}$$通解为两个指数函数的线性叠加：(其中$A_1$和$A_2$由边界条件给出)$$I(t)=A_1{e}^{s_{1}t}+A_2{e}^{s_{2}t}$$(1)  过阻尼响应$\zeta >1$
没有振荡的衰减：$$I(t)=A_1{e}^{-{\omega }_0(\zeta +\sqrt{{\zeta }^2-1})t}+A_2{e}^{-{\omega }_0(\zeta -\sqrt{{\zeta }^2-1})t}$$
(2)  欠阻尼响应$\zeta <1$
有振荡衰减：$$I(t)=B_1{e}^{-\alpha t}\cos \left({\omega }_{d}t\right)+B_2{e}^{-\alpha t}\sin ({\omega }_{d}t=B_3{e}^{-\alpha t}\sin ({\omega }_{d}t+\phi ))$$欠阻尼响应是一个频率为${\omega }_d$的衰减的振荡，${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\alpha }^2}={\omega }_0\sqrt{1-{\zeta }^2}$，该频率称为“阻尼固有频率”，它是电路在无外部源驱动时自然振动的频率，而谐振频率${\omega }_0$是电路在有外部源驱动时的谐振频率，为了便于区分常称作无阻尼谐振频率。$\alpha$为振荡衰减的速率。

(3)  临界阻尼响应$\zeta =1$  $$I(t)=D_{1}t{e}^{-\alpha t}+D_2{e}^{-\alpha t}$$
上图来自RLC的维基百科，RLC电路接到一个恒定电压的电源，上图展示的就是电流随时间的变化，即从接通瞬间电流为零的状态，经过一定时间后电流再次回到零状态的过程。

注：
1. 上面三种情形其实也是阻尼固有频率和无阻尼固有频率比较的三种情况。
2. 数学上常用$i$表示复数单位，这里用$j$表示，二者是一样的。
3.  阻抗的直角形式$R+jX$适合阻抗的加减运算，而指数形式适合乘除运算，各有优劣。
4.  如果电感旁边没有其他通磁元件的话，系统就不会通过向外发射电磁波而耗散能量。
5. 注意导纳是阻抗的倒数，而不是将阻抗的实数部分取到数，阻抗的虚数部分取倒数，然后相加。

阻抗和导纳

阻抗：是电路中电阻、电感、电容对交流电的阻碍作用的统称，阻抗本身就是复数，所以“复阻抗”和“阻抗”是等价的。
阻抗 $Z=R+jX$，其中$R$为电阻，在纯电阻的电路中，阻抗即为电阻，数值上为实数；$X$为电抗$X=(\omega L-\frac{1}{\omega C})$，于是有：$$Z=R+jX=R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C})$$如果$\omega$是一个定值的话，上式就可以改写成一个幅值不变的复指数形式：$Z=Z_m{e}^{j\theta }$，其中$\sqrt{R^2+X^2}$，$\theta =\arctan (X/R)$。

导纳：是电导和电纳的统称，定义为阻抗$Z$的倒数。阻抗为$Z=R+jX$，所以导纳为：$$Y=Z^{-1}=\frac{1}{R+jX}=\left(\frac{1}{R+jX}\right)\cdot \left(\frac{R-jX}{R-jX}\right)=\left(\frac{R}{R^2+X^2}\right)+j\left(\frac{-X}{R^2+X^2}\right)$$也可以写成$Y=G+jB=\left(\frac{R}{R^2+X^2}\right)+j\left(\frac{-X}{R^2+X^2}\right)$，其中$G$就是电导，$B$就是电纳。导纳的大小为$|Y|=\sqrt{G^2+B^2}=\frac{1}{\sqrt{R^2+X^2}}$，相位为$\mathrm{\angle }Y=\arctan \left(\frac{B}{G}\right)=\arctan \left(\frac{-X}{R}\right)$，当然喽，也可以写成指数形式。

拉普拉斯域(Laplace domain)
参考资料
1. https://zh.wikipedia.org/wiki/RLC%E7%94%B5%E8%B7%AF

2. http://8.210.49.120/mit-%e5%be%ae%e5%88%86%e6%96%b9%e7%a8%8b/

3. https://www.slideserve.com/lars-perry/3

4. https://www.zhihu.com/question/37560438

5.

共振的品质分析主要通过共振曲线，而共振曲线我们重点研究两个指标：一个是峰值，一个是半宽度。

对RLC电路来说，共振频率为${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$，此时对应的电流$I_{max}=\frac{V_0}{R}$即为峰值，那么$R$越小，峰值越高。现在我们已经知道了共振曲线的“高矮”，那么我们还需要知道它的“胖瘦”即半宽度。

$\beta$值越大，左右显得越不对称；越小的话，感觉起来，越有左右对称，事实上还是有微微不对称。总而言之，这种非对称性，使得我们在算半宽度的时候，左侧和右侧对应的宽度不相等，右侧的略大于左侧。

$\beta$值越小，峰值越大，同时也越来越瘦(半宽度小)，总结起来就是“高瘦”，那么稍微偏离共振频率一点点，影响就很大，这叫做共振品质好。

$\beta$值越大，峰值越小，共振曲线越“矮胖”，那么共振和非共振差别不大，就不尊贵，即共振品质差。

品质因子(或$Q$因子)是物理及工程中的无量纲参数，是表示振子阻尼性质的物理量，也可以表示振子的共振频率相对于带宽的大小。