行波和驻波、共振

【行波】(travelling wave)：上面是直线\(y=\displaystyle\frac{1}{3}(x-6 t)\)在不同时刻的位置，\( t\)前面的负号表示向\(x\)轴的正方向传播。进一步对于正弦函数\(y=2 \sin 3 x\)，如果写成\(t\)的函数比如\(y=2 \sin 3(x-6 t)\)，\(x\)前面的系数就是波矢，给出了空间的信息，后面\(-6t\)给出的是时间维度的信息，负号表示向正方向传播。波矢的本质，就是相位随空间变化的那个系数。

【驻波】(standing wave)：Consider a traveling wave on a string moving from left to right. If the far right end of the string is fixed the wave will be reflected (moving right to left). The incident and reflected waves will undergo "superposition".

Principle of Superposition——"When two or more waves of the same nature travel past a point at the same time, the displacement at that point is the sum of the instantaneous displacements of the individual waves".

假设两个向相反方向传播的波分别为\(y_1=y_0 \sin (k x-\omega t)\)和\(y_2=y_0 \sin (kx+\omega t)\)，二者叠加之后$$ y=y_1+y_2=2 y_0 \sin k x \cos \omega t $$即左右两端传来的波，通过三角函数和差化积，将时间信息和空间信息分开。这种分离的方法类似薛定谔方程求解中，将波函数改写为\(\Psi(x, t)=\psi(x) \varphi(t)\)。

驻波的特点：

• 所有的质点都在它所在的位置上上下振动，并不将振幅的信息向前后的振动质点传播；
• 质点的位置，决定了质点振幅的大小；
• 特定的位置——【结点】(node)，由于空间信息始终为零，使得空间信息的变动对这些结点的运动影响为零，也就是说无论时间怎么变化，这些结点的振幅始终是零；
• 越靠近结点的质点，振幅越小；
• 上图中，\(t=T/4\)时，左右两列波叠加的效果使得所有质点都处在水平线上；
• 上图中，\(t=T/4\)时，叠加后的效果为将\(t=0\)时的叠加波沿着水平轴翻转；

一次谐波称为基波，其频率称为基频(fundamental frequency或first harmonic)，其他的频率叫作2nd, 3rd, 4th ... harmonics。\(\lambda_1=2 L\)，\(f_1=\displaystyle\frac{v}{2 L}\)。推而广之：$$ \lambda_n=\frac{2 L}{n} \quad f_n=\frac{n v}{2 L} \quad v=\sqrt{\frac{\text { Tension }}{\text { mass } / \text { length }}} $$最后一个速度公式给出了弦上波的速度。

弦乐器的原理：当拨动小提琴的琴弦，会施加给琴弦一整套的频率，此时这条琴弦会决定以哪一个频率振动，而它会选取共振频率。如果琴弦的基频是\( 400 \mathrm{Hz} \)，就会在\( 400 \mathrm{Hz} \)发生共振，但同时，在\(800 \mathrm{Hz} \)和\( 1200 \mathrm{Hz}\)也会共振，而别的偏离了共振频率的，会被忽略掉。也就是说琴弦振动时，会得到基频和其他所有泛音(谐波)的组合。\( n \)—选择特定的基频倍数；\( v \)取决于弦的张力、材料和长度。弹奏的时候要么改变\( v \)，要么改变\( L \)，使基频发生变化，从而把不同频率的声音共振出来。

管乐器的原理：发出的声波和反射波在空腔内发生了谐波。根据公式\(  f_{n}=\displaystyle\frac{n v}{2 L}\)，低频管乐器很大，高频管乐器就比较小。管乐器发出不同声调就是通过改变\(  L\)，比如小号推拉换长度，笛子上的孔同样改变空腔长度。但是，必须传入全频率的声音，这样才能通过空腔的选择作用，放大特地频率的。管乐器气柱只在一端开放，只会产生奇次谐波。图片来自这里。

变声的原理：空气中声波的速度\(v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)，参考Wiki-Speed of sound in ideal gases and air，理想气体声速$$ c_{\text {ideal }}=\sqrt{\frac{\gamma \cdot k \cdot T}{m}} $$空气的平均分子质量是\(m=30 \)，房间里温度也是一致的，所以管乐器的音调是固定的；如果从一个冷屋子跑到一个暖屋子，那么管乐器的调子就不准了，但是稍微改变空腔长度可以修正温度的改变。根据上面的公式以及\(f_n=\displaystyle\frac{n v}{2 L}\)，如果人短暂性吸入氦气，会导致声腔(sound cavity)中声音的传播速度变化，那么此时讲话声音的音调会显著增大。

音色(tone color 或 timbre)：乐器在演奏的时候，除了基频(一次谐波)以外，还有二次谐波(第一泛音)、三次谐波(第二泛音)等等高次谐波，也就是说是基频和泛音混合在一起的，不同谐波的相对强度不同，导致了最终的音色不同。

共振：

• 手沾上水，然后再玻璃上边沿沿着一个方向抚摸，会听到玻璃杯的基频；
• 歌手用声音可以震碎玻璃杯，但是必须依靠外部喇叭；
• 同频率的两个音叉产生共鸣回响，敲击一个音叉，另一个音叉会随之振动；
• 1940年美国塔科马大桥的倒塌，破坏性共振的实例；

参考资料：
(1) 如何解释「泛音」？它是如何产生的？—知乎
(2) 虎门大桥为何异常抖动？风能吹塌一座桥吗？李永乐老师讲卡门涡街

 

 

电磁波能量及坡印廷矢量

麦克斯韦方程组$$\begin{aligned} &\oint \vec{E} \cdot d \vec{A}=\frac{Q_{f e e e}}{\kappa \varepsilon_{0}}\\ &\oint \vec{B} \cdot d \vec{A}=0\\ &\oint \vec{E} \cdot d \vec{l}=-\frac{d \Phi_{B}}{d t}\\ &\oint \vec{B} \cdot d \vec{l}=\kappa_{m} \mu_{0}\left(I_{e n c}+\varepsilon_{0} \kappa \frac{d \Phi_{E}}{d t}\right) \end{aligned}$$下面是电磁波可能的解，满足上面的麦克斯韦方程组

电场在\(x  \)方向振动，磁场在\(y \)方向振动，这样就构成了一个合成平面，电场和磁场像包一样，共同沿着\(z\)轴正方向以速度\(V=\displaystyle\frac{\omega}{k}=c\)运动$$ \begin{aligned} &\vec{E}=E_0 \hat{x} \cos (k z-\omega t)\\ &\vec{B}=B_0 \hat{y} \cos (k z-\omega t) \end{aligned} $$而且必须要\(B_0=\displaystyle\frac{E_0}{c} \)和\(  c=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}\)。 变化的磁场产生电场，磁场则由变化的电场产生，二者相互支配，于是在空间传播，无论是否是真空。

神奇之处：\(\varepsilon_0\)和\(\mu_0\)都可以分别根据库伦定律、两根通电导线相互吸引中测出，它们都和\( dB/dt\)、\( dE/dt\)、行波(电磁波)没有任何关系。根据这两个实验测得的静态数据，可以算出\(c\)的大小。

平面波：拓展

具体的推导我准备另外写一下(四分之一波长技巧)。应该通过法拉第定律、修正后的安培定律等证明上上图下部的两个关系式，由此计算出来的电磁波在真空中的波速和人们测到的光的波速一致，预言了光是电磁波。

回忆一下真空中电场能量密度和磁场能量密度，单位都是J/m³，以及\(B_0=\displaystyle\frac{E_0}{c} \)和\(  c=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}\)   $$ u_E=\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 \quad u_B=\frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0} $$我们很容易得到$$u_{B}=u_{E}$$行进中的电场能量密度和磁场能量密度完全相等，这是一种完美的对称性。

总的能量密度     \( u_{\mathrm{total}}=\varepsilon_{0} E^{2}=\varepsilon_{0} E B c\)

现在问电磁波垂直通过\( 1\)平方米的面积，那么单位时间内通过的能量是多少？如上图所示，长度为光运行\( 1 \)秒走过的距离为\(c\)，那么整个长方体的体积为\(c\)，于是可以计算出整个体积所包含的能量为(将\(c\)的量纲考虑)$$ u_{\mathrm{total}} c=\varepsilon_0 E B c^2=\frac{E B}{\mu_0} \, \mathrm{J / m^2} \sec $$这其实就是坡印廷矢量的大小，【坡印廷矢量】(Poynting vector)更准确的表达为$$ \vec{S}=\frac{\vec{E} \times \vec{B}}{\mu_0} $$这表明坡印廷矢量是具有方向的，指向电磁波的能量传递方向和电磁波的传播方向，该方向由电场矢量和磁场矢量的叉乘决定，而我们的例子中电场和磁场方向都是垂直的，所以叉乘之后得到的数值大小其实就是\(\displaystyle\frac{E B}{\mu_0}\)。

单位面积上的辐射功率的均值(时间上)：\(E\)和\(B\)都在以频率\(\omega \)正(余)弦变化，所以\(S\)以正(余)弦平方变化，于是平均功率为瞬时峰值功率的\(1/2\)，即$$ \langle S\rangle=\frac{1}{2} \frac{E_0 B_0}{\mu_0}=\frac{1}{2} \frac{E_0^2}{\mu_0 c} $$

物理学中，可以把光看成是平面波、球面波或者光子，不同的物理现象中我们可以选择光的不同概念去解释；当然，在量子力学里面，光是波和光子的融合。爱因斯坦提出一个光子的动量\(p=\displaystyle\frac{E}{c}=\frac{h v}{c}\)，而坡印廷矢量\(S=\displaystyle\frac{\text { power }}{\text { area }}=\frac{\text { rate of doing work }}{\text { area }}=\frac{\frac{\Delta F}{\Delta t} \Delta x}{\text { area }}\)。于是The pressure is experienced as 【辐射压强】(radiation pressure) on the surface:$$ P_{\text {incident }}=\frac{\langle S\rangle}{c}=\frac{I_f}{c} $$\(I_f\) is the incident irradiance (usually in \(\mathrm{W} / \mathrm{m}^2\) ) and \(c\) is the speed of light in vacuum.

• 吸收系数—\(\alpha\)
  • \(\alpha =1\)—完全吸收，此时太阳光太阳辐射对地球的压强为\(4.6 \mu \mathrm{Pa}\)；
  • \(\alpha =0\)—完全透明；
  • \(\alpha =2\)—完全反射；
• 角度—\( \theta\)：如果辐射和平面成\( \theta\)角度，那么上面的辐射压强公式要乘以\( \theta^2\)。The component of that force tangent to the surface is not called pressure.

 

海尔-波普彗星(Comet Hale–Bopp)，白而且泛黄的尾巴是彗星尘埃颗粒反射的太阳光，辐射压导致了尾巴；蓝光的尾巴是由太阳风(质子和电子，同样导致了极光的出现)引起的，太阳风激发二氧化碳，退激发的时候发蓝光。注：此处蓝光的解释似乎没有其他文献印证。

左图—静止电荷的电场线；右图—电荷在突然移动一小段距离后又停止。靠近电荷的电场力线将与电荷一起运动，但是离得很远的电力线要延迟一段时间后 才作同样的运动。这种变化的传播用球面波前表示，于是出现了一个辐射脉动波。

加速运动的电荷产生电磁波：电荷加速运动，但是信息传递是有速度的(光速)，在电荷移动到新的位置的时候，远处的电场还是保持原来的状态，需要一定时间才能缓过来。原有的电场和新的电场必然在某个地方连接起来，形成一个纽结(kink)，或者说电磁扰动，于是就形成了电磁波。在电荷运动方向是没有电磁波的辐射(没纽结)，在垂直运动方向的电磁波强度最大。整体形成的电磁波更像是一个特殊的“球面波”，说它特殊是因为在所有方向的辐射强度都不同。

上面的过程另一种说法：我们突然移动一个电荷，电荷附近的电场将随电荷一起运动。但离得远处的场并不会立刻知道源在运动，这一信息以速度\(c\)传播，并在不同的时间传到不同的地点。原来的场型被新的场型以一个薄壳层形扫过去，向外扫过的速度为恒定速度\(c\)。在远离电荷的地方，这个扰动成了球面波前(spherical wave front)，并于传播方向正交。这时波前对源的所有记忆完全忘记了，以一种辐射的脉动自由向前移动。——参考《大自然的基本力：规范场的故事》(黄克孙)

参考资料：
(1) Electromagnetic Wave—可视化(油管)
(2) Moving Charge Electromagnetic Wave Visualisation
(3) Why do accelerating electrons emit radiation?—stack exchange
(4) FIELD LINES AND ACCELERATION: PART I

竖直的导线通入变化的正弦交流电，相当于电荷上下加速减速，于是产生电磁波，在垂直于电流方向的电磁波的强度最大，而在电流方向上的强度为零。天线的原理和上面的电荷加速运动产生电磁波的原理是一致的。(天线具体内容参见通俗易懂！看完你就是半个天线专家了)

对一个在原点上下振荡的电荷，其加速度为\(\vec{a}\)，在\( P\)点感受到的电场为\(\vec{E}\)，且与\(\vec{a}\)、\(\vec{r}\)共面，而且\(\vec{E} \perp \vec{r}\)。另外根据能量辐射的平方反比定律，坡印廷矢量大小肯定反比于距离的平方，而它又是\(E\)和\(B\)的乘积，所以电场强度和距离的一次方成反比：$$E \propto \frac{q a}{r} \sin \theta \quad \quad S \propto \frac{q^2 a^2 \sin ^2 \theta}{r^2}$$

电磁波振荡方向示意图
实验部分
\( 10 \mathrm{GHz} \)的信号里面调制了一个\( 1 \mathrm{kHz} \)的音频信号。

电磁波主要从垂直于天线的平面发出。

电场方向与振荡方向平行，那磁场方向就垂直于振荡方向，当铁栅栏平行于磁场时，能通过，垂直于磁场时就通过不了，应该是铁把磁场挡住了呢，换成铝就不会有这问题。对电场的阻挡效应，铁和铝是相同的，都是良导体；对磁场，铁磁性跟铝就差别大了，所以射频模块的外壳都是铝合金的，而电路板上用于屏蔽保护的全是铁皮。