• 质量:从某种意义上讲, 质量改变了空间的性质, 因为它产生了一个贯 穿整个空间的力场。这个场成了现代物理学的一个中心概念。
  • 等效原理:质量 \(m\) 既可以是惯性的测量,也可以是场强(field strength) 的测量。 这两种角色在概念上是有区别的, 因此我们用不同的符号区分它们:
    • 就惯性质量而言,\(F=m_{\text {惯 }} a\),它是物体对外力响应的量度。
    • 引力质量出现在\(\gamma m_{\text {引 }} / r^{2}\),它是产生场强的量度。
    • 实验证实,它们具有相同的数值\(m_{\text {惯 }}=m_{\text {引 }}\),即等效原理。
  • 最小作用量原理,作用量可以是最大值而不是最小值,所以对语言挑剔的人可能会使用”恒定作用量原理”(principle of stationary action)。
  • 拉格朗日最小作用量原理:拉格朗日量 = 动能 – 势能。我们可以沿着任意虚拟的路径计算这个量。路径的”作用量”是在整个路径上累积的拉格朗日量。如果我们改变路径,相应的作用量也将发生变化。正确的路径是作用量最小的路径。
  • 牛顿定律的正则化:哈密顿量 = 动能 + 势能,其实就是总能量,但这种形式要求哈密顿量能够用”正则变量”表示,即用坐标\( q\)和它的”正则共轭”动量\(p\)来表示。于是我们把哈密顿量表示为\(H(p,q)\),现在牛顿定律可以用哈密顿共轭方程组表示为$$\begin{aligned} &\dot{q}=\frac{\partial}{\partial p} H(p, q) \\ &\dot{p}=-\frac{\partial}{\partial q} H(p, q) \end{aligned}$$拉格朗日表述和哈密顿表述是等价的。要想指明一个系统,最简洁大办法是给出系统的拉格朗日量或者哈密顿量。

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