梯度、散度、旋度、Jacobian、Hessian、Laplacian 的关系图
标量场和矢量场和积分的关系,上面的标量
标量场就是每一点(无论是二维还是三维空间)对应的函数值(比如温度,海拔,湿度)只有大小,没有方向;而矢量场,就是每一点对应的函数(比如温度梯度,湿度梯度,海拔梯度,磁场,电场)既包含数值的大小,又包含方向,当然也是二维/三维均可。对于矢量场,具体来讲,矢量场任意一点的方向,就是对标量场函数值大小变化最快的方向,比如温度梯度变化最快的方向,每一点矢量的模长就是表征标量场函数值变化的速率。
标量场的梯度就是向量场。标量场比如
矢量场和标量场是互为求偏倒数和积分的关系,上面的标量场求偏导数可以得到矢量场
向量微分算子
直接作用于函数 (不论 是标量还是向量),意味着求 的【梯度】(Gradient),表示为 ,(标量函数的梯度为向量,向量的梯度为二阶张量……) 与非标量函数 由点积符号·连接,意味着求 的【散度】(Divergence),表示为 与非标量(三维)函数 由叉积符号 连接,意味着求 的【旋度】(Curl),表示为
向量算子是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用Nabla算符定义,包括梯度、散度和旋度。
散度—高斯散度定理
对于一个连续可微的三维向量场,可以写成
对于这个向量场来说,空间中每一点的邻域空间上,向量场在这个空间的通量(向量场对曲面积分的值)除以这个邻域空间的体积大小(当这个邻域空间大小收敛到0时)得到的数值就是该处的散度。
高斯散度定理:
旋度—斯托克斯定理
【环量】(circulation)
当环量所对应的环路无穷小时,即可得到
旋度与安培环路定律:以稳态的通电长直导线为例,画一个垂直于导线的圆环,而且导线正好过圆环的圆心,而且定义圆环的方向正好为电流产生磁场的方向,如图所示。假设我们选取的圆环的半径大于导线的半径,设半径为
旋度的计算:设向量场
我们上面讨论的通电导线的例子,其实是
斯托克斯定理:(
格林公式—斯托克斯定理二维特例
设闭区域
理解格林公式最重要的是借用物理图像:力场在面上的旋度的积分 = 力场在边界线上的积分
假设二维平面上的力场
结合上面二维平面
参考资料:
(1) 如何通俗地理解格林公式?—知乎
(2) 格林公式的意义:边界的做功=微分矩形做功之和—马同学
(3) 矢量分析—电动力学笔记
拉普拉斯算符,拉普拉斯方程和泊松方程
Laplace拉普拉斯,Poisson泊松。
拉普拉斯方程
注意算符的运算: