斯坦福大学-傅里叶变换及其应用

视频   课程官网  别人的笔记1      笔记2 263 and 278  两门课 语言不同,但是有重叠,有融合。  
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数的简单可视化
從三角求和公式到 Fourier 級數
值得学习的笔记1    为什么要进行傅立叶变换

需要补充的内容

 

性质和公式汇总

狄拉克函数的性质

先回顾一下基本定义,满足δ(x)={+,x=00,x0,而且δ(x)dx=1,它是一个广义函数,在物理学中常用其表示质点、点电荷等理想模型的密度分布。

具有如下性质:

(1)  挑选性f(x)δ(xx0)dx=f(x0)上式表示f(x)δ(xx0)的乘积积分即精确挑出f(x)x=x0处的函数值f(x0)。当我们将x0看作变化的量,那么f(x0)=f(x0)δ(x0)=f(x)δ(x0x)dx卷积,由于δ函数的特殊性,该式子右侧部分和上式左侧部分虽然写法不同,但是结果相同。从卷积的角度看,就是将原函数拆成一个个无穷多个连续冲激的形式,冲激的幅度是原函数在这一点的函数值,以此来重新复刻原函数。在信号处理中,f(t)=f(τ)δ(tτ)dτ=δ(τ)f(tτ)dτ,这个式子的表达更加清晰,第二个等号利用的是卷积的Commutativity性质(参考[珂学原理-视频])。

(2)  频谱为常数
根据傅里叶变换我们可以得到频谱F(k)=δ(x0)eikxdx=eik0=1为一个常数,说明函数的频率是均匀分布的,即个频率分量所占的比例相同!

从频谱的逆变换定义δ函数δ(x)=12πeikxdk

(3) 泛函
在性质(1)中,我们提到"从卷积的角度看,就是将原函数拆成一个个无穷多个连续冲激的形式,冲激的幅度是原函数在这一点的函数值,以此来重新复刻原函数"。这其实就是泛函的思想,f(t)=f(τ)δ(tτ)dτ,即输入不同的δ(tτ)函数,然后通过f(τ)的作用(先相乘,然后积分),得到不同的数值,所有的数值最后按照对应t的大小排列,最后重新复刻出f(t)

(4) 电动力学中的相关公式
(r^r2)=4πδ(r)2(1/r)=4πδ(r),其中δ(r)=δ(x)δ(y)δ(z)

(5) 卷积核,扩散,高斯波包等等,待补充

参考资料:
(1) delta 函数及其性质—知乎
(2) delta函数及其性质—进阶版
(3) Dirac delta function—Wiki

 

傅里叶变换的性质

回顾一下连续傅里叶变换和逆变换:(注:保证变换和逆变换前面系数乘积为1即可)
数学家的写法F(k)=12π+f(x)eikxdxf(x)=12π+F(k)eikxdk物理和工程师的写法F(k)=+f(x)eikxdxf(x)=12π+F(k)eikxdk可以参考网友笔记:傅里叶变换的性质

(1)  周期为1的函数的傅里叶系数:f(t)=k=nnf^(k)e2πiktf^(k)=01e2πiktf(t)dt

(2)  非周期函数的傅里叶级数:Ck=1TT2T2f(t)e2πikTtdtf(t)=k=Cke2πikTt

(3)  连续傅里叶变换:如果f(t)的周期被定为在整个实数域中,即<T<,那么其傅里叶变换为Ff(s)=e2πistf(t)dt

(4) 傅里叶变换的对偶性F(s)=Ff(s)=e2πistf(t)dt=F1f(s)

(Ff)=Ff=F(f)

FFf=F(Ff)=F(F(f))=f

Fsinc=FFπ=π=π

(5) 奇偶虚实性:一般情况下f(t)是复函数,因而可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即F(s)=|F(s)|eiφ(s)=R(s)+iX(s)(5-1)如果f(t)为实数F(s)=f(t)e2πistdt=f(t)cos(2πst)dtif(t)sin(2πst)dt显然此时的频谱实部R(s)为偶函数,虚部X(s)为奇函数。根据|F(s)|=R2(s)+X2(s)可知,此时的幅度谱也是偶函数。当f(t)为实偶函数,则频谱函数为实偶函数;当f(t)为实奇函数,则频谱函数为虚奇函数。比如余弦函数的傅里叶变换就是实偶函数Fcos(2πax)=12(δa+δa);上面讨论的δ(x)也是实偶函数,其傅里叶变换为常数(实偶函数);正弦函数的傅里叶变换就是虚奇函数Fsin(2πax)=12i(δaδa)

(5-2) 如果f(t)为虚函数,令f(t)=jg(t),则有{R(s)=g(t)sin(2πst)dtX(s)=g(t)cos(2πst)dt此时R(s)是奇函数,X(s) 是偶函数,而 |F(s)| 仍然为偶函数,φ(s)仍然为奇函数。

(9) 时延迟性(delayed)f(t±b)e±2πisbF(s)这在频谱上并不体现出了,因为模长没变,变的是相位。从相位移动角度F(s)=|F(s)|e2πiθ(s)

(10)  尺度变化f(at)1|a|F(sa)

(11) 线性(linearity)性质F(αf)+F(βg)=αFf+βFg

(12)  卷积(convolution)定理:(gf)(x)=g(xy)f(y)dy
时域卷积:(例子F(ΠΠ)=(FΠ)(FΠ)=sinc2=FΛ)F(gf)=(Fg)(Ff)频域卷积F(fg)=F(f)F(g)

(13)  滤波:G(s)=F(s)H(s)   其中H(s)是传递函数,F(s)是原始信号的频谱,G(s)是滤波后的频谱,对G(s)做傅里叶逆变换就得到滤波后的时域信号。

(14)  傅里叶导数定理:F(f)(s)=2πis(Ff)(s)推广:F(fn)(s)=(2πis)n(Ff)(s)

(15)  概率分布与卷积:同分布独立随机变量的和的密度函数为他们各自密度函数的卷积p(x1+x2++xn)=p1p2pn如果是同分布的,卷积四五次就非常接近高斯分布的形状了。

(16)  Parseval定理|Ff(s)|2ds=|f(x)|2dx该等式表明信号在时域与频域的能量(功率)相等。其一般形式为:
设有f(x),g(x)S,则Ff(s)Fg(s)ds=f(x)g(x)dx

(17)  δ函数的极限定义:δ(x)=limϵ01ϵf(xϵ)其中f满足f(x)dx=1

(18)  广义函数/分布Tf,ϕ=f(x)ϕ(x)dx重新定义脉冲函数:δ,φ=φ(0)
推广得到新的分布δa<δa,φ>=φ(a)

傅里叶变换可以看作是一个广义函数e2πisx(测试函数的集合是S):Ff(x)=e2πisx,f(x)=e2πisxf(x)dx

(19)  广义函数/分布Tf,ϕ=f(x)ϕ(x)dx重新定义脉冲函数:δ,φ=φ(0)
推广得到新的分布δa<δa,φ>=φ(a)

傅里叶变换(正余弦、常数函数同样可以)可以看作是一个广义函数e2πisx(测试函数的集合是S):Ff(x)=e2πisx,f(x)=e2πisxf(x)dx

(20)  缓增分布T的傅里叶变换:FT,φ=T,Fφ逆变换<F1T,φ>=<T,F1φ>
例子:

  • <Fδ,φ>=<1,φ>
  • <Fe2πiax,φ>=δa,φ
  • Fcos(2πax)=12(δa+δa)
  • Fsin(2πax)=12i(δaδa)

(21)  分布的导数T  <T,φ>=<T,φ>

分布的导数的傅里叶变换/分布的傅里叶变换的导数F(T)=2πisFT(FT)=F(2πitT)

(22)  分布的乘积(要求fφS)<Tf,φ>=T(x)f(x)φ(x)dx=<T,fφ>利用这个可以推导出δ函数的抽样性fδa=f(a)δa

(23)  分布的卷积  <ST,φ>=<S(x),<T(y),φ(x+y)>>注:成立条件为<T(y),φ(x+y)>是一个测试函数。

利用这个推导出fδ=f   和f(x)δa(x)=f(xa)以及δaδb=δa+b

(24)  δ(x)函数的缩放特性δ(ax)=1|a|δ

(25)  狄拉克梳子IIIp=k=δ(xkp)三个性质:采样、周期和傅里叶变换 f(x)ΠIp(x)=k=f(kp)δ(xkp)  (fΠIp)(x)=k=f(xkp)  FIIIp=1pIII1pF1IIIp=1pIII1p对于标准梳子FIII=III

(26) 信号与系统里面有一个重要的口诀: 离散对周期,周期对离散。时域如果是离散的,频域就是周期的;如果频域离散,时域就要周期。如果时域既是离散又是周期,那么频域也既是离散又是周期。

下图是Four Fourier transforms and the links ⊥⊥⊥ and △△△ between them. In the tempered distributions(缓增分布) sense, all four transforms F, Fper, DTFT and DFT reduce to only one Fourier transform, the Fourier transform on tempered distributions. (来自文献Four Particular Cases of the Fourier Transform)