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傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数的简单可视化
從三角求和公式到 Fourier 級數
值得学习的笔记1    为什么要进行傅立叶变换

需要补充的内容

• 补充狄利克雷条件
  
• 吉布斯现象
• 负频率，参考珂学原理，和电路设计漫谈之66: 负频率是怎么来的?

性质和公式汇总

狄拉克函数的性质

先回顾一下基本定义，满足$\delta (x)=\{\begin{array}{ll}+\mathrm{\infty },& x=0\\ 0,& x\ne 0\end{array}$，而且${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x)dx=1}$，它是一个广义函数，在物理学中常用其表示质点、点电荷等理想模型的密度分布。

具有如下性质：

(1)  挑选性$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)\delta (x-x_0)dx=f\left(x_0\right)$$上式表示$f(x)$和$\delta (x-x_0)$的乘积积分即精确挑出$f(x)$在$x=x_0$处的函数值$f(x_0)$。当我们将$x_0$看作变化的量，那么$f(x_0)=f(x_0)\ast \delta (x_0)={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)\delta (x_0-x)dx}$卷积，由于$\delta$函数的特殊性，该式子右侧部分和上式左侧部分虽然写法不同，但是结果相同。从卷积的角度看，就是将原函数拆成一个个无穷多个连续冲激的形式，冲激的幅度是原函数在这一点的函数值，以此来重新复刻原函数。在信号处理中，$f(t)={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\tau )f(t-\tau )d\tau }$，这个式子的表达更加清晰，第二个等号利用的是卷积的Commutativity性质(参考[珂学原理-视频])。

(2)  频谱为常数
根据傅里叶变换我们可以得到频谱$$F(k)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x-0)e^{-ikx}dx=e^{-ik\cdot 0}=1$$为一个常数，说明函数的频率是均匀分布的，即个频率分量所占的比例相同！

从频谱的逆变换定义$\delta$函数$$\delta (x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{ikx}dk$$

(3) 泛函
在性质(1)中，我们提到"从卷积的角度看，就是将原函数拆成一个个无穷多个连续冲激的形式，冲激的幅度是原函数在这一点的函数值，以此来重新复刻原函数"。这其实就是泛函的思想，$f(t)={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(\tau )\delta (t-\tau )d\tau }$，即输入不同的$\delta (t-\tau )$函数，然后通过$f(\tau )$的作用(先相乘，然后积分)，得到不同的数值，所有的数值最后按照对应$t$的大小排列，最后重新复刻出$f(t)$。

(4) 电动力学中的相关公式
$\mathrm{\nabla }\cdot \left({\displaystyle \frac{\hat{\mathit{r}}}{r^2}}\right)=4\pi \delta (\mathit{r})$，${\mathrm{\nabla }}^2(1/r)=-4\pi \delta (\mathit{r})$，其中$\delta (\mathit{r})=\delta (x)\delta (y)\delta (z)$。

(5) 卷积核，扩散，高斯波包等等，待补充

参考资料：
(1) delta 函数及其性质—知乎
(2) delta函数及其性质—进阶版
(3) Dirac delta function—Wiki

傅里叶变换的性质

回顾一下连续傅里叶变换和逆变换：(注：保证变换和逆变换前面系数乘积为$1$即可)
数学家的写法$$\begin{array}{rl}& F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)e^{-ikx}dx\\ & f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}F(k)e^{ikx}dk\end{array}$$物理和工程师的写法$$\begin{array}{rl}& F(k)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)e^{-ikx}dx\\ & f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}F(k)e^{ikx}dk\end{array}$$可以参考网友笔记：傅里叶变换的性质

(1)  周期为$1$的函数的傅里叶系数：$$\begin{array}{rl}f(t)& =\sum _{k=-n}^n\hat{f}(k)e^{2\pi ikt}\\ \hat{f}(k)& ={\int }_0^1{e}^{-2\pi ikt}f(t)dt\end{array}$$

(2)  非周期函数的傅里叶级数：$$\begin{array}{rl}{C}_k& =\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}dt\\ f(t)& =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{C}_k{e}^{2\pi i\frac{k}{T}t}\end{array}$$

(3)  连续傅里叶变换：如果$f(t)$的周期被定为在整个实数域中，即$-\mathrm{\infty }<T<\mathrm{\infty }$，那么其傅里叶变换为$$\mathcal{F}f(s)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2\pi ist}f(t)dt$$

(4) 傅里叶变换的对偶性$$F(-s)=\mathcal{F}f(-s)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{2\pi ist}f(t)dt={\mathcal{F}}^{-1}f(s)$$

$$(\mathcal{F}f{)}^{-}={\mathcal{F}}^{-}f=\mathcal{F}\left(f^{-}\right)$$

$$\mathcal{F}\mathcal{F}f=\mathcal{F}(\mathcal{F}f)=\mathcal{F}\left({\mathcal{F}}^{-}\left(f^{-}\right)\right)=f^{-}$$

$$\mathcal{F}\mathrm{sinc}=\mathcal{F}\mathcal{F}\pi ={\pi }^{-}=\pi$$

(5) 奇偶虚实性：一般情况下$f(t)$是复函数，因而可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即$$F(s)=|F(s)|e^{i\phi (s)}=R(s)+iX(s)$$(5-1)如果$f(t)$为实数：$$F(s)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-2\pi ist}dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)\cos (2\pi st)dt-i{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)\sin (2\pi st)dt$$显然此时的频谱实部$R(s)$为偶函数，虚部$X(s)$为奇函数。根据$|F(s)|=\sqrt{R^2(s)+X^2(s)}$可知，此时的幅度谱也是偶函数。当$f(t)$为实偶函数，则频谱函数为实偶函数；当$f(t)$为实奇函数，则频谱函数为虚奇函数。比如余弦函数的傅里叶变换就是实偶函数$\mathcal{F}\cos (2\pi ax)={\displaystyle \frac{1}{2}({\delta }_a+{\delta }_{-a})}$；上面讨论的$\delta (x)$也是实偶函数，其傅里叶变换为常数(实偶函数)；正弦函数的傅里叶变换就是虚奇函数$\mathcal{F}\sin (2\pi ax)={\displaystyle \frac{1}{2i}({\delta }_a-{\delta }_{-a})}$。

(5-2) 如果$f(t)$为虚函数，令$f(t)=jg(t)$，则有$$\{\begin{array}{l}R(s)={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(t)\sin (2\pi st)dt}\\ X(s)={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(t)\cos (2\pi st)dt}\end{array}$$此时$R(s)$是奇函数，$X(s)$ 是偶函数，而 $|F(s)|$ 仍然为偶函数，$\phi (s)$仍然为奇函数。

(9) 时延迟性(delayed)$$f(t\pm b)\leftrightarrow e^{\pm 2\pi isb}F(s)$$这在频谱上并不体现出了，因为模长没变，变的是相位。从相位移动角度$$F(s)=|F(s)|e^{2\pi i\theta (s)}$$

(10)  尺度变化$$f(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}F\left(\frac{s}{a}\right)$$

(11) 线性(linearity)性质$$\mathcal{F}(\alpha f)+\mathcal{F}(\beta g)=\alpha \mathcal{F}f+\beta \mathcal{F}g$$

(12)  卷积(convolution)定理：$(g\ast f)(x)={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(x-y)f(y)dy}$
时域卷积：(例子$\mathcal{F}(\mathrm{\Pi }\ast \mathrm{\Pi })=(\mathcal{F}\mathrm{\Pi })(\mathcal{F}\mathrm{\Pi })={\mathrm{sinc}}^2=\mathcal{F}\mathrm{\Lambda }$)$$\mathcal{F}(g\ast f)=(\mathcal{F}g)(\mathcal{F}f)$$频域卷积$$\mathcal{F}(f\cdot g)=\mathcal{F}(f)\ast \mathcal{F}(g)$$

(13)  滤波：$G(s)=F(s)H(s)$   其中$H(s)$是传递函数，$F(s)$是原始信号的频谱，$G(s)$是滤波后的频谱，对$G(s)$做傅里叶逆变换就得到滤波后的时域信号。

(14)  傅里叶导数定理：$$\mathcal{F}\left(f^{\prime }\right)(s)=2\pi is(\mathcal{F}f)(s)$$推广：$$\mathcal{F}\left(f^n\right)(s)=(2\pi is{)}^n(\mathcal{F}f)(s)$$

(15)  概率分布与卷积：同分布独立随机变量的和的密度函数为他们各自密度函数的卷积$$p(x_1+x_2+\dots +x_n)=p_1\ast p_2\ast \dots \ast p_n$$如果是同分布的，卷积四五次就非常接近高斯分布的形状了。

(16)  Parseval定理$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|\mathcal{F}f(s){|}^{2}ds={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|f(x){|}^{2}dx$$该等式表明信号在时域与频域的能量(功率)相等。其一般形式为：
设有$f(x),g(x)\in S$，则$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathcal{F}f(s)\overline{\mathcal{F}g(s)}ds={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)\overline{g(x)}dx$$

(17)  $\delta$函数的极限定义：$$\delta (x)=\underset{ϵ\to 0}{lim}\frac{1}{ϵ}f\left(\frac{x}{ϵ}\right)$$其中$f$满足${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=1}$

(18)  广义函数/分布$$⟨T_f,\varphi ⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)\varphi (x)dx$$重新定义脉冲函数：$⟨\delta ,\phi ⟩=\phi (0)$
推广得到新的分布${\delta }_a$：$<{\delta }_a,\phi >=\phi (a)$

傅里叶变换可以看作是一个广义函数$e^{-2\pi isx}$(测试函数的集合是$S$)：$$\mathcal{F}f(x)=⟨e^{-2\pi isx},f(x)⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2\pi isx}f(x)dx$$

(19)  广义函数/分布$$⟨T_f,\varphi ⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)\varphi (x)dx$$重新定义脉冲函数：$⟨\delta ,\phi ⟩=\phi (0)$
推广得到新的分布${\delta }_a$：$<{\delta }_a,\phi >=\phi (a)$

傅里叶变换(正余弦、常数函数同样可以)可以看作是一个广义函数$e^{-2\pi isx}$(测试函数的集合是$S$)：$$\mathcal{F}f(x)=⟨e^{-2\pi isx},f(x)⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2\pi isx}f(x)dx$$

(20)  缓增分布$T$的傅里叶变换:$$⟨\mathcal{F}T,\phi ⟩=⟨T,\mathcal{F}\phi ⟩$$逆变换$$<{\mathcal{F}}^{-1}T,\phi >=<T,{\mathcal{F}}^{-1}\phi >$$
例子：

• $<\mathcal{F}\delta ,\phi >=<1,\phi >$
• $<\mathcal{F}{e}^{2\pi iax},\phi >=⟨{\delta }_a,\phi ⟩$
• $\mathcal{F}\cos (2\pi ax)={\displaystyle \frac{1}{2}({\delta }_a+{\delta }_{-a})}$
• $\mathcal{F}\sin (2\pi ax)={\displaystyle \frac{1}{2i}({\delta }_a-{\delta }_{-a})}$

(21)  分布的导数$T^{\prime }$  $$<T^{\prime },\phi >=-<T,{\phi }^{\prime }>$$

分布的导数的傅里叶变换/分布的傅里叶变换的导数$$\begin{array}{c}\mathcal{F}\left(T^{\prime }\right)=2\pi is\mathcal{F}T\\ (\mathcal{F}T{)}^{\prime }=\mathcal{F}(-2\pi itT)\end{array}$$

(22)  分布的乘积(要求$f\phi \in S$)$$<Tf,\phi >={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}T(x)f(x)\phi (x)dx=<T,f\phi >$$利用这个可以推导出$\delta$函数的抽样性$f{\delta }_a=f(a){\delta }_a$

(23)  分布的卷积  $$<S\ast T,\phi >=<S(x),<T(y),\phi (x+y)>>$$注：成立条件为$<T(y),\phi (x+y)>$是一个测试函数。

利用这个推导出$f\ast \delta =f$   和$f(x)\ast {\delta }_a(x)=f(x-a)$以及${\delta }_a\ast {\delta }_b={\delta }_{a+b}$

(24)  $\delta (x)$函数的缩放特性$$\delta (ax)=\frac{1}{|a|}\delta$$

(25)  狄拉克梳子$${\mathrm{III}}_p=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x-kp)$$三个性质：采样、周期和傅里叶变换 $$f(x)\mathrm{\Pi }{I}_p(x)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(kp)\delta (x-kp)$$  $$(f\ast \mathrm{\Pi }{I}_p)(x)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x-kp)$$  $$\begin{array}{rl}\mathcal{F}{\mathrm{III}}_p& =\frac{1}{p}{\mathrm{III}}_{\frac{1}{p}}\\ {\mathcal{F}}^{-1}{\mathrm{III}}_p& =\frac{1}{p}{\mathrm{III}}_{\frac{1}{p}}\end{array}$$对于标准梳子$\mathcal{F}\mathrm{III}=\mathrm{III}$

(26) 信号与系统里面有一个重要的口诀： 离散对周期，周期对离散。时域如果是离散的，频域就是周期的；如果频域离散，时域就要周期。如果时域既是离散又是周期，那么频域也既是离散又是周期。

下图是Four Fourier transforms and the links ⊥⊥⊥ and △△△ between them. In the tempered distributions(缓增分布) sense, all four transforms $\mathcal{F}$, ${\mathcal{F}}_{per}$, DTFT and DFT reduce to only one Fourier transform, the Fourier transform on tempered distributions. (来自文献Four Particular Cases of the Fourier Transform)