视频 课程官网 别人的笔记1 笔记2 263 and 278 两门课 语言不同,但是有重叠,有融合。
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数的简单可视化
從三角求和公式到 Fourier 級數
值得学习的笔记1 为什么要进行傅立叶变换
需要补充的内容
- 补充狄利克雷条件
- 吉布斯现象
- 负频率,参考珂学原理,和电路设计漫谈之66: 负频率是怎么来的?
性质和公式汇总
狄拉克函数的性质
先回顾一下基本定义,满足
具有如下性质:
(1) 挑选性
(2) 频谱为常数
根据傅里叶变换我们可以得到频谱
从频谱的逆变换定义
(3) 泛函
在性质(1)中,我们提到"从卷积的角度看,就是将原函数拆成一个个无穷多个连续冲激的形式,冲激的幅度是原函数在这一点的函数值,以此来重新复刻原函数"。这其实就是泛函的思想,
(4) 电动力学中的相关公式
(5) 卷积核,扩散,高斯波包等等,待补充
参考资料:
(1) delta 函数及其性质—知乎
(2) delta函数及其性质—进阶版
(3) Dirac delta function—Wiki
傅里叶变换的性质
回顾一下连续傅里叶变换和逆变换:(注:保证变换和逆变换前面系数乘积为
数学家的写法
(1) 周期为
(2) 非周期函数的傅里叶级数:
(3) 连续傅里叶变换:如果
(4) 傅里叶变换的对偶性
(5) 奇偶虚实性:一般情况下
(5-2) 如果
(9) 时延迟性(delayed)
(10) 尺度变化
(11) 线性(linearity)性质
(12) 卷积(convolution)定理:
时域卷积:(例子
(13) 滤波:
(14) 傅里叶导数定理:
(15) 概率分布与卷积:同分布独立随机变量的和的密度函数为他们各自密度函数的卷积
(16) Parseval定理
设有
(17)
(18) 广义函数/分布
推广得到新的分布
傅里叶变换可以看作是一个广义函数
(19) 广义函数/分布
推广得到新的分布
傅里叶变换(正余弦、常数函数同样可以)可以看作是一个广义函数
(20) 缓增分布
例子:
(21) 分布的导数
分布的导数的傅里叶变换/分布的傅里叶变换的导数
(22) 分布的乘积(要求
(23) 分布的卷积
利用这个推导出
(24)
(25) 狄拉克梳子
(26) 信号与系统里面有一个重要的口诀: 离散对周期,周期对离散。时域如果是离散的,频域就是周期的;如果频域离散,时域就要周期。如果时域既是离散又是周期,那么频域也既是离散又是周期。
下图是Four Fourier transforms and the links ⊥⊥⊥ and △△△ between them. In the tempered distributions(缓增分布) sense, all four transforms