交换/结合/分配律

【交换律】(Commutative property )：是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立，则称这两个元素为在此运算下是"可交换"的。

• 在集合\(S\)的一个二元运算 \(*\) 被称之为"可交换"的，若\(\forall x, y \in S, x * y=y * x\)；
• 若称\(x \)在 \(*\) 下和\(y\)可交换，即表示\(x* y=y * x\)；
• 二元函数\(f: A \times A \rightarrow B\)被称之为可交换的，若\(\forall x, y \in A, f(x, y)=f(y, x)\)。此函数图像会对\(y=x\)对称。

可交换的例子：

• 实数的加法、乘法，复数的乘法；
• 更广义地说，在一个域中，加法和乘法都是可交换的；
• 集合的交集与并集、"与"和"或"的可交换的逻辑运算；
• 加法在每个向量空间和每个代数中都是可交换的；
• 阿贝尔群的群运算；
• 域的加法与乘法都是可交换的；
• 交换环是一个乘法为可交换的环。

不可交换的例子：

• 洗衣和干衣；
• 计算机中的字符串的串接(Concatenation，将字串连在一起的行为)是个不可交换的运算。
• 魔方的扭转是不可交换的，这些扭转被用于研究群论；
• 减法不可交换，但是可以将减法符号看作是加上其相反数，如此就可以使用交换律；
• 除法不可交换，但是可以将除法转换成乘以其倒数，如此就可以使用交换律；
• 矩阵的乘法不可交换；
• 求幂运算；
• 从实数到实数的线性函数的函数组合几乎总是不可交换的，比如让\(f(x)=2 x+1\)和\(g(x)=3 x+7\)

【反交换】(anticommutative)的例子

• 减法运算；
• 两个

运算

【代数系统】= 非空集合 +运算

【运算】(Operation)：设\(A\)，\(B\)，\(C\)为三个非空集合，映射\(f: A \times B \rightarrow C\)就称为\(A\)与\(B\)到\(C\)的运算。

• 有的情况下运算不具有可交换性，即\(A \times B\)和\(B \times A\)不等价，比如笛卡尔积，矩阵相乘等等。
• 如果\(A\)，\(B\)，\(C\)为三个非空集合是同一个集合，都用\( A\)来表示，那么映射\(f: A \times A \rightarrow A\)称为\(A\)上的【二元运算】(Binary operation)。给定\(a, b \in A\)，则运算结果\(f(a, b) \in A\)。
• 如果说二元运算，那么默认其对所定义的集合具有【封闭性】(closure)；如果只是说运算，那么就没有这种默认。比如在定义群的时候，我们如果一上来就说是二元运算，那么我们就不再赘述封闭性。
• 符号表示：\(f(a, b)\)的运算，等价地表示为\(a \diamond b\)，即此处用【连接符】表示运算，更复杂的比如\(f(f(c, f(a, b)), d)=(c \diamond(a \diamond b)) \diamond d\)。这样的好处是使得表示起来更简单，也有助于发现运算的规律。有序对\((A, \odot)\)表示定义在集合\(A\)上的\(\odot\)运算。

闭包

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参考资料：
(1) 二元运算、等价关系和分划、同余关系—知乎

单子

群论—引言

【代数运算】：虑由集合\(S\)的元素形成的有序元素对组成的集合：$$S\times S:=\{(a,b)\mid a,b\in S\}$$称\(S\times S\)是\(S\)与自身的笛卡尔积，那么从\(S\)到\(S\)映射称为\(S\)上的一个代数运算。

【代数系统】：现代数学的一个鲜明特征是研究具有代数运算的集合，称它们为代数系统。

【环】(ring)：一个非空集合\(R\)如果定义了两种代数运算，一种叫做加法，另一种叫做乘法，并且满足\(6\)条运算法则：

• 加法：
  • 交换律
  • 结合律
  • 有零元素(简称零元)
  • 每个元素有负元素：于是可以用加法来定义减法运算\(a-b:=a+(-b)\)
• 乘法：
  • 结合律
  • 对于加法的分配律(乘法和加法的桥梁)

环的其他概念：

• 如果环\(R\)的乘法满足交换律，称其为交换环
• 如果环\(R\)中一个元素\(e\)满足\(ea=ae=a\)，称该元素为该环的单位元
• 如果环中元素\(a\)来说，存在换中一个非零元素使得\(ac=0\)或\(ca=0\)，那么称\(a\)是一个左(右)零因子，显然这里\(a=0\)肯定就是该环的零因子，说白了零因子就是可以将一个非零元通过乘法运算变为零元。
• 有单位元\(e(\neq0)\)的交换环\(R\)如果没有非零的零因子(即任意两个元素相乘不等于零)，那么称\(R\)是一个整环，比如整数集\(\mathbb{Z}\)

环的例子：

• 整数集\(\mathbb{Z}\)
• 偶数集\(2\mathbb{Z}\)
• 实系数一元多项式组成的集合\(\mathbb{R}[x]\)
• 元素为实数的所有\(n\)阶矩阵组成的集合\(M_n(\mathbb{R})\)

整数集\(\mathbb{Z}\)可以根据星期几，即除以\(7\)的余数来建立一一对应关系\(\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6}\}\)，于是可以实现对整数集的划分。比如星期日是被\(7\)整除的整数组成的子集，记作\(\overline{0}\)。整数\(a\)与\(b\)如果被\(7\)除余数相同，那么称\(a\)与\(b\)模\(7\)同余，记作\(a \equiv b(\bmod7).\overline{0},\overline{1},\cdots,\overline{6}\)都称为模\(7\)剩余类。由这个例子推广到：对于任一大于\(1\)的整数\(m\)，若整数\(a\)与\(b\)被\(m\)除余数相同，则称\(a\)与\(b\)模\(m\)同余，记作\(a\equiv b(\bmod m)\)。对于\(i\in\{0,1,\cdots,m-1\}\),$$\bar{i}:=\{km+i\mid k\in\mathbb{Z}\}$$称为一个模\(m\)剩余类。所有模\(m\)剩余类(共\(m\)个)组成的集合\(\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{m-1}\}\)给出了整数集\(\mathbb{Z}\)的一个划分，记作\(\mathbb{Z}_m\)。在\(\mathbb{Z}_m\)中规定加法和乘法运算如下:$$\bar{a}+\bar{b}:=\overline{a+b},\quad\bar{a}\bar{b}:=\overline{ab}$$可以验证这些规定是合理的。容易验证\(\mathbb{Z}_m\)成为有单位元\(\overline{1}\)的交换环，称它【模\(\boldsymbol{m}\)剩余类环】。

对于\(\mathbb{Z}_8=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6},\overline{7}\}\)的例子，显然\(\bar{2} \bar{4}=\bar{0}\)，这类似线性代数两个不为零的矩阵乘积为零，因此\( (\mathbb{Z}_8\)不是整环。另外\(\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}, \overline{6}\)都是\(\mathbb{Z}_8\)的零因子，剩下的\(\overline{3}, \overline{5}, \overline{7}\)都是\(\mathbb{Z}_8\)的可逆元。

证明：在有单位元的环\( R\)中，零因子一定不是可逆元。

引出【域】(field)的概念：\(\mathbb{Z}_7=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6}\}\)是有单位元的交换环，且里面每一个非零元都可逆。有理数集\(  \mathbb{Q}\)，实数集\(\mathbb{R}\)，复数集\(\mathbb{C}\)，都是有单位元\((e\neq 0)\)的交换环，且每个非零元都是可逆元，由此抽象出域的概念：设\(F\)是一个有单位元\(e(\neq 0)\) 的交换环，如果\(F\)中每一个非零元都是可逆元，那么称\(F\)是一个域。这里我们给出\(\mathbb{Z}_7\)的例子是为了说明域不仅仅有我们经常接触到的无限域(有理数/实数/复数)，也可以是由几个元素组成的集合。

\(\mathbb{Z}_m\) 中所有可逆元组成的集合记作 \(\mathbb{Z}_m^*\). 例如, \(\mathbb{Z}_8^*=\{\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{7}\}\). 由于 \(\overline{1}+\overline{3}=\) \(\overline{4} \notin \mathbb{Z}_8^*\), 因此模 8 剩余类的加法不是 \(\mathbb{Z}_8^*\) 的运算。由于 $$ \begin{array}{lll} \overline{3} \overline{5}=\overline{7}, & \overline{3} \overline{7}=\overline{5}, & \overline{5} \overline{7}=\overline{3}, \\ \overline{3} \overline{3}=\overline{1}, & \overline{5} \overline{5}=\overline{1}, & \overline{7} \overline{7}=\overline{1}, \end{array} $$ 因此模 8 剩余类的乘法是 \(\mathbb{Z}_8^*\) 的运算. 于是 \(\mathbb{Z}_8^*\) 有一种代数运算.

在域\(F\)中，可以定义除法运算：对于\(a, b \in F\)，且\(b \neq 0\)，规定\(a \div b:=a b^{-1}\)。

引出【群】的概念：\(\mathbb{Z}_m\)中所有可逆元组成的集合记作\(\mathbb{Z}_m^*\)。例如\(\mathbb{Z}_8^*=\{\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{7}\}\), 由于 \(\overline{1}+\overline{3}=\) \(\overline{4} \notin \mathbb{Z}_8^*\)，因此模 8 剩余类的加法不是 \(\mathbb{Z}_8^*\) 的运算。由于 $$ \begin{array}{lll} \overline{3} \overline{5}=\overline{7}, & \overline{3} \overline{7}=\overline{5}, & \overline{5} \overline{7}=\overline{3}, \\ \overline{3} \overline{3}=\overline{1}, & \overline{5} \overline{5}=\overline{1}, & \overline{7} \overline{7}=\overline{1}, \end{array} $$ 因此模\(8\)剩余类的乘法是\(\mathbb{Z}_8^*\) 的运算。于是\(\mathbb{Z}_8^*\)只有一种代数运算，即乘法运算。总结一下就是：\(\mathbb{Z}_8^*\)中每个元素的逆都在其中，而且(只)有乘法运算。

域\(F\)上所有\(n\)阶可逆矩阵组成的集合记作\(\mathrm{GL}_n(F)\)。显然矩阵的加法不是\(\mathrm{GL}_n(F)\)的运算。由于两个\(n\)阶可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，因此矩阵的乘法是 \(\mathrm{GL}_n(F)\)(唯一)的运算。这说明\(\mathbb{Z}_8^*\)和\(\mathrm{GL}_n(F)\)都是只有一种运算的代数系统，这不同于之前的环和域的概念，迫使你从中抽象出一个新的概念——群。总结一下就是：

• 结合律
• 有单位元
• 有逆元

先讲环，再讲域，最后讲群，是最自然不过的，最容易接受的。

群的tips：

• \(\mathbb{Z}_m^* \)是一个群，称它为\(\mathbb{Z}_m \)的单位群；
• 满足乘法交换律的群，就是Abel群；
• \(\mathrm{GL}_n(F)\)是域\( F\)上的\(n\)级一般线性群；
• 设\(V\)是域\(F\)上的线性空间，\(V\)上所有可逆线性变换组成的集合记作\(\mathrm{GL}(V)\)，它对于映射的乘法成为一个群，称它为\(V\)上的可逆线性变换群；
• 子群\(H \leq G\)；

群的划分：研究群的结构的一种途径是利用它的各种子群！比如前面我们利用\(\mathbb{Z}_7=\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}, \overline{6}\}\)可以对整数进行分类，星期一的归一类，星期天的归另一类，等等。同样地，我们也可以利用【等价关系】，符号\(\sim\)来对群中元素进行分类，所谓等价关系就是满足反身性，对称性和传递性的二元关系，则【等价类】组成的集合就是集合\(G\)的一个划分。比如说两个向量组可以互相线性表示，那么就说两个向量组是等价的，反身性表现在一个向量组肯定可以由自身线性表示，对称性表现在互相线性表示，传递性表现在\(A\)向量组和\(B\)向量组等价，\(B\)向量组和\(C\)向量组等价，那么一定有\(A\)向量组和\(C\)向量组等价。

下面用三维空间的例子说明等价类和等价关系：(其他例子参考<群论>对左陪集关系的理解—知乎)

1. 进一步地，在\(\mathbf{R}^{3}\)向量空间，我们可以定义一个群，即群的二元运算\(\star\)为向量的加法，单位元就是零向量；
2. 取\(\mathbf{R}^{3}\)的一个子空间，或者说一个过原点的二维平面\(\mathbf{P}\)，显然它也满足前面的群的定义，实际上就是前面定义的那个群的子群；
3. 在\(\mathbf{R}^{3}\)上任意取一个向量\(\vec{a}\)，如果另一个向量\(\vec{b}\)满足这样条件，即\(((\vec{b})^{-1}\star \vec{a}) \in \mathbf{P}\)，那么我们就说\(  b\)和\(\vec{a}\)等价，所有满足这种条件的向量\(\vec{b}\)组成的集合就是向量\(\vec{a}\)的等价类，注意此处\((\vec{b})^{-1}\)即\(\vec{b}\)的逆元就是我们传统意义上的\(-\vec{b}\)；
4. 向量\(\vec{a}\)的等价类，实际上是\(\vec{a} \star \mathbf{P}\)，即遍历\( \mathbf{P}\)上的所有元素和向量\(\vec{a}\)做二元运算(传统意义上的加法运算)；
5. 向量\(\vec{a}\)的等价类具有的共同特点是什么，即向量终点到平面\( \mathbf{P}\)的距离相等，该等价类组成的集合并不是一个群，从几何上看是一个平行于\(\mathbf{P}\)的平面，更专业的说法，该集合是一个【仿射子空间】(affine subspace)，也是平面\(\mathbf{P}\)的陪集\(\vec{a}\mathbf{P}\)(注：左右陪集相等，因为是阿贝尔群)。

基于上面的实例，抽象出来我们可以给出更标准的说法：\(H\)是群\(G\)的一个子群，对于\(a, b \in G\)，规定$$ a \sim b \quad: \Longleftrightarrow \quad b^{-1} a \in H $$即在给定\(H\)和\(G\)的前提下，我们说两个元素\(a\)和\( b\)是等价的，即满足\(\sim\)二元关系，实际上就是说\(b^{-1} a \in H\)。\(a\)确定的等价类\(\bar{a}\)为$$ \begin{aligned} \bar{a} & =\left\{x \in G \mid a^{-1} x \in H\right\} \\ & =\left\{x \in G \mid a^{-1} x=h, h \in H\right\} \\ & =\{x \in G \mid x=a h, h \in H\} \\ & =\{a h \mid h \in H\} \\ & =: a H \end{aligned} $$记为\( aH\)，把\( aH\)称为以\(a\)为代表的\(H\)的【左陪集】。

设\(H\)是群\(G\)的一个子群, 则：
(1) \(e H=H\)，因此子群\(H\)本身是\(H\)的一个左陪集；
(2) \(a H=b H \Longleftrightarrow b^{-1} a \in H\)；
(3) 任意\(a H\)与\(b H\)或者相等，或者不相交(即它们的交集是空集)；
(4) \(H\)的所有左陪集组成的集合是\(G\)的一个划分，记作\((G / H)_l\)，称它是\(G\)关于\(H\)的左商集。\((G / H)_l\)的基数称为子群\(H\) 在 \(G\)中的指数,，记作\([G: H]\)。
如果\([G: H]=r\)，那么\(G=eH \bigcup a_1 H \bigcup \cdots \bigcup a_{r-1} H\)，这些左陪集两两不相交，该等式称为群\(G\)关于子群\(H\)的【左陪集分解式】。子群\(H\)和其任一左陪集\(aH\)之间有一个双射\(h \mapsto a h\)，因此左陪集分解式中各个左陪集中元素个数(阶)相等，于是得到下面的著名定理：

【拉格朗日定理】：设\(G\)是有限群，\(H\)是\(G\)的任一子群，则$$ |G|=|H|[G: H] $$从而\(G\)的任一子群的阶是\(G\)的阶的因数。