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公理
【公理】(Axiom):依据人类理性不证自明的基本事实,经过人类长期反复实践的考验,不需要再加证明的基本命题称为公理。
注释:
- 一系列公理组成的系统必须自洽;
- 如果一条公理是"可证明的",那就说明存在更深层次的公理,能够通过逻辑推理来证明这条"公理",而此时这条"公理"便会失去其作为"公理" 的身份,沦落到定理之列;
- 公理不分对错,修改公理会产生新的体系:
- 【皮亚诺公理】体系下,【抽屉原理】是正确的,但是在量子力学中,抽屉原理是不成立的;
- 【欧几里得的平行公理】被修改后,会得到【非欧几何】;
- 牛顿力学中,质量不随速度改变被推翻后,产生了相对论;
- 修改公理得到的结论可能是平凡的,也可能是不自洽的(错误的);
- 公理就是定义,公理对于定义,就相当于定理对于命题。人们为了强调某些命题的重要性,就将其称为定理,同样地,人们为了强调某些定义的重要性,就给它换了个名字叫做公理。
- 普适的代价抽象,最本质的抽象定义就是公理。
- 树有根节点,根定义就是公理,公理赋予了XX意义。
- 公理不是真理,公理其实就是一种让我们能相互说话的通讯协议。
公理的例子:
- Peano 公理 \(\rightarrow\) 自然数定义
- Euclid 几何公理 \(\rightarrow\) Euclid 几何学定义
- 线性空间(八条)公理 \(\rightarrow\) 线性空间定义
反问题
收敛
参考:
(1) 直观理解函数列的【一致收敛】和【逐点收敛】
李萨如图形
可以用labview绘制,参考这里
参考资料:
(1) 简谐振动的合成以及几种特殊的振动情况
(2) 用数学方式打开Facebook新Logo,真的和视频号Logo来自同一方程
(3) Lissajous curve—Wiki
蒙特卡洛法和布冯丢针(Buffon needle)
这个实验本身的价值不高,但是延伸出的微积分、几率、统计三者结合的研究方法在现在影响很大。
夹角、针的终点到临近横线的距离都是随机的,变化范围分别是\([0, \pi] \)和\( [0, \displaystyle\frac{1}{2}a] \)
xs=rand(3000,1); ys=rand(3000,1); plot(xs,ys,'o'); xlim([0 1]); ylim([0 1]) ang=0:0.01:2*pi; x=0.5+0.5*cos(ang); y=0.5+0.5*sin(ang); hold on plot(x,y,'r') in_circle=(xs-0.5).^2+(ys-0.5).^2<0.5^2 a=sum(in_circle); result=a*4/3000;
格里菲斯量子力学习题1.13
参考资料:
(1) 李永乐视频
(2) 一份数学小白也能读懂的「马尔可夫链蒙特卡洛方法」入门指南
(3) 什么是蒙特卡罗模拟?(中国物理学会期刊网)
(4) 物理学中的蒙特卡洛方法—返朴
悖论
- 我的室友刚完成一本关于如何赚钱的书,他现在需要钱来出版。那叫他看那本书!
- 《小王子》里的一段话,很有意思。
“你为什么喝酒?”
“为了忘却。”
“忘却什么呢?”
“为了忘却我的羞愧。”
“你羞愧什么呢?”
“我羞愧我喝酒。”
人的一生,也总是陷入这种死循环。熬夜的人继续熬夜,拖延症继续拖延,矛盾就是生活的底色。 - “你为什么上课迟到?”
“因为刚刚来的路上……”
“还找理由!迟到就是迟到!”
……
……
……
“你为什么上课迟到?”
“没原因,就是迟了。”
“老师问你原因,你这是什么态度?明天喊家长过来一趟!” - 色盲悖论
假设:有一个人,他有一种奇怪的色盲症。他看到的两种颜色和别人不一样,他把蓝色看成绿色,把绿色看成蓝色。
但是他自己并不知道他跟别人不一样,别人看到的天空是蓝色的,他看到的是绿色的,但是他和别人的叫法都一样,都是“蓝色”;小草是绿色的,他看到的却是蓝色的,但是他把蓝色叫做“绿色”。所以,他自己和别人都不知道他和别人的不同。
问:你怎么证明自己不是这个人?
- 罗素悖论对于任意一个集合A,A要么是自身的元素,即A∈A;A要么不是自身的元素,即A∉A。根据康托尔集合论的概括原则,可将所有不是自身元素的集合构成一个集合S1,即S1={x,x∉x}。换个通俗易懂的说法就是,在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人。可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸。
博克森悖论 GK同人于野: 博克森悖论。我们专栏讲过。
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