数学之旅

小专题

公理

【公理】(Axiom)：依据人类理性不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题称为公理。

注释：

  • 一系列公理组成的系统必须自洽；
  • 如果一条公理是"可证明的"，那就说明存在更深层次的公理，能够通过逻辑推理来证明这条"公理"，而此时这条"公理"便会失去其作为"公理" 的身份，沦落到定理之列；
  • 公理不分对错，修改公理会产生新的体系：
    • 【皮亚诺公理】体系下，【抽屉原理】是正确的，但是在量子力学中，抽屉原理是不成立的；
    • 【欧几里得的平行公理】被修改后，会得到【非欧几何】；
    • 牛顿力学中，质量不随速度改变被推翻后，产生了相对论；
  • 修改公理得到的结论可能是平凡的，也可能是不自洽的(错误的)；
  • 公理就是定义，公理对于定义，就相当于定理对于命题。人们为了强调某些命题的重要性，就将其称为定理，同样地，人们为了强调某些定义的重要性，就给它换了个名字叫做公理。
  • 普适的代价抽象，最本质的抽象定义就是公理。
  • 树有根节点，根定义就是公理，公理赋予了XX意义。
  • 公理不是真理，公理其实就是一种让我们能相互说话的通讯协议。

公理的例子：

  • Peano 公理 \(\rightarrow\) 自然数定义
  • Euclid 几何公理 \(\rightarrow\) Euclid 几何学定义
  • 线性空间(八条)公理 \(\rightarrow\) 线性空间定义

反问题

参考资料：
(1) ill-posed problems 是什么？inverse problems 是什么?—知乎

 

 

收敛

 

 

参考：
(1) 直观理解函数列的【一致收敛】和【逐点收敛】

 

李萨如图形

simulation演示

可以用labview绘制，参考这里

参考资料：
(1) 简谐振动的合成以及几种特殊的振动情况
(2) 用数学方式打开Facebook新Logo，真的和视频号Logo来自同一方程
(3) Lissajous curve—Wiki

 

蒙特卡洛法和布冯丢针(Buffon needle)

这个实验本身的价值不高，但是延伸出的微积分、几率、统计三者结合的研究方法在现在影响很大。

夹角、针的终点到临近横线的距离都是随机的，变化范围分别是\([0, \pi] \)和\( [0, \displaystyle\frac{1}{2}a] \)

蒙特卡洛积分求解\( \pi\)

xs=rand(3000,1);
ys=rand(3000,1); 
plot(xs,ys,'o'); 
xlim([0 1]); 
ylim([0 1])
ang=0:0.01:2*pi;
x=0.5+0.5*cos(ang); 
y=0.5+0.5*sin(ang);
hold on
plot(x,y,'r')

in_circle=(xs-0.5).^2+(ys-0.5).^2<0.5^2 
a=sum(in_circle);
result=a*4/3000;

格里菲斯量子力学习题1.13

参考资料：
(1) 李永乐视频
(2) 一份数学小白也能读懂的「马尔可夫链蒙特卡洛方法」入门指南
(3) 什么是蒙特卡罗模拟？(中国物理学会期刊网)
(4) 物理学中的蒙特卡洛方法—返朴

 

悖论

  1. 我的室友刚完成一本关于如何赚钱的书，他现在需要钱来出版。那叫他看那本书！
  2. 《小王子》里的一段话，很有意思。
    “你为什么喝酒?”
    “为了忘却。”
    “忘却什么呢？”
    “为了忘却我的羞愧。”
    “你羞愧什么呢？”
    “我羞愧我喝酒。”
    人的一生，也总是陷入这种死循环。熬夜的人继续熬夜，拖延症继续拖延，矛盾就是生活的底色。
  3. “你为什么上课迟到？”
    “因为刚刚来的路上……”
    “还找理由！迟到就是迟到！”
    ……
    ……
    ……
    “你为什么上课迟到？”
    “没原因，就是迟了。”
    “老师问你原因，你这是什么态度？明天喊家长过来一趟！”
  4. 色盲悖论

    假设：有一个人，他有一种奇怪的色盲症。他看到的两种颜色和别人不一样，他把蓝色看成绿色，把绿色看成蓝色。

    但是他自己并不知道他跟别人不一样，别人看到的天空是蓝色的，他看到的是绿色的，但是他和别人的叫法都一样，都是“蓝色”；小草是绿色的，他看到的却是蓝色的，但是他把蓝色叫做“绿色”。所以，他自己和别人都不知道他和别人的不同。

    问：你怎么证明自己不是这个人？

     
  5. 罗素悖论对于任意一个集合A，A要么是自身的元素，即A∈A；A要么不是自身的元素，即A∉A。根据康托尔集合论的概括原则，可将所有不是自身元素的集合构成一个集合S1，即S1={x,x∉x}。换个通俗易懂的说法就是，在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

博克森悖论    GK同人于野: 博克森悖论。我们专栏讲过。

x

a

 

 

xx

贝塞尔工具

a

a

a

 

好的文章收藏

Pages: 1 2 3 4

Leave a Reply