数学之旅

三次数学危机

第一次数学危机

毕达哥拉斯曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别:毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。万物皆数:一切数均可表成整数或整数之比,也就是现在说的有理数。毕达哥拉斯也提出了毕达哥拉斯定理,基于该定理,其学派的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为\(1\)的正方形其对角线长度是多少呢?\(\sqrt{2}\)在当时的数学界掀起了一场巨大风暴,它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰,使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。后来毕达哥拉斯为了掩盖这个漏洞,将希帕索斯绑在石头上扔海里了。

不可公度(或者说不可通约性)的发现引起了第一次数学危机。

第二次数学危机

阿基里斯悖论(芝诺的乌龟):动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点,此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。

芝诺是古希腊的前苏格拉底哲学家,他研究了很多悖论,来反驳时间和空间的连续性问题。
阿基里斯:古希腊神话的英雄,也即人和神的孩子,是古希腊跑的最快的英雄,只有脚后跟有个弱点,最后被人射脚后跟而死。

牛顿和莱布尼茨发明微积分后,许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。但是不管是牛顿,还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上,但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而,从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱(无穷小是不是零)。虽然当时以一种不严格的方式使用无穷小量,却也能得到正确而深刻的结果。

无穷小的概念不清楚,从而导数、微分和积分等的概念不清楚。比如求解\( s = 5t^2\)瞬时速度,第一步用了无穷小量作分母进行除法(\(\Delta S\)除以\(\Delta t\)),当然无穷小量不能为零;第二步牛顿又把无穷小量看作零,去掉那些包含它的项(省掉\(\Delta t\)),从而得到所要的公式,在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的,但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾.焦点是:无穷小量是零还是非零?如果是零,怎么能用它做除数?如果不是零,又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢?关于无穷小量,参考这里

级数收敛的问题,\((1-x)^{-1}=1+x+x^{2}+\cdots\),如果取\(x=2\),写成级数的形式有\(-1=1+2+4+8+\cdots\),那个年代的人不知道级数是有收敛域的,即只在特定范围内收敛。

经过一个世纪的尝试和酝酿,数学家们在严格化基础上重建微积分的努力在19世纪初开始获得成效,其代表有:
(1) 柯西对变量、函数、极限、连续性、导数、级数收敛给出明确定义;
(2) 分析的算术化——魏尔斯特拉斯的工作,也就是\(  \varepsilon-\delta\)语言,参考这里
(3) 实数理论——戴德金的方法称为戴德金分割;
柯西通过柯西列实数的收敛,也建立了实数理论(前面函数空间完备性有提到);
(4) 集合论的诞生——康托尔的工作—数学的基础。

第三次数学危机

康托尔:集合论,用集和去解释现代数学中的一些问题,这个理论后来被认为是人类纯智力活动的最高成就。在集合论刚产生时,曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了,并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现,从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。
补充拓展:以数学史的观点来看,集合论是如何成为数学基础的?

集合的三大特点:
(1) 确定性,每一个元素必须是确定的;
(2) 互异性,每两个元素不能相同;
(3) 无序性,这些元素没有什么排列的顺序。

理发师悖论(罗素悖论的形象例子):小城里,理发师说,我给且仅给不刮胡子的人刮胡子,也就是,你自己给自己刮胡子,那么我就不给你刮了,如果你不自己给自己刮胡子,那就来我这里刮;现在问题来了,理发师该不该给自己刮胡子?

说谎者悖论:这句话是谎言;这个句子是错的。

另外还有康托尔最大基数悖论,以上悖论都有一个重要特征是“自指性”。

英国数学家罗素提出的著名的“罗素悖论”,直接证明了作为数学大厦基础的“集合论”是有问题的,这也导致了“集合论”的发现者康托尔一次又一次的经历着罗素的劫难却也解决不了这个问题,最终死在了自己工作的哈雷大学精神病院里面。更为严重的是,这引起了对数学的整个基础结构的有效性的置疑,也就是数学史上的第三次危机。

这里也顺带提一下集合、数环、数域的定义:
(1) 集合:集合(或简称集)是基本的数学概念,它是集合论的研究对象。最简单的说法,即是在最原始的集合论─朴素集合论─中的定义,集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”,叫作元素。

(2) 数环:设S是复数集的非空子集。如果S中的数对任意两个数的和、差、积(没有商)仍属于S,则称S是一个数环。例如整数集Z就是一个数环,有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数环。
性质:性质: 1. 任何数环都包含数零(即零环是最小的数环)。 2. 设S是一个数环。若a∈S ,则na∈S(n∈Z)。 3. 若M,N都是数环,则M∩N也是数环。
(3) 数域定义1:设F是一个数环,如果对任意的a,b∈F而且a≠0, 则b/a∈F;则称F是一个数域。
数域定义2:设S是复数集的非空子集。如果S中的数对任意两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍属于S,则称S是一个数域。例如有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数域。
  性质:任何数域都包含有理数域Q。参考资料:数学概念—博客园

希尔伯特纲领:希尔伯特认为这些悖论是自然语言表达语义内容造成的;形式系统的符号与符号串不含有意义,可免悖论之苦;在数学结构的真事实与形式系统的定义中将有完美的对应关系。

希尔伯特梦想的,就是发现一个形式系统,在其中每一个数学真理都可以翻译成一个定理,反过来,每一个定理都可以翻译成一个数学真理。这样的系统称为完全的。

哥德尔证明希尔伯特犯了一个致命的错误

参考资料:
(1) 数学的奥秘:本质与思维
(2) 第二次数学危机是咋回事?李永乐老师带你了解芝诺悖论和无穷小
(3) 第三次数学危机是咋回事?李永乐老师带你了解刮胡子的理发师悖论
(4) 初等微积分拾趣——PengTitus

 

哥德尔不完备定理

参考资料:
(1) 妈咪说-哥德尔不完备定理到底说了啥?为什么希尔伯特的数学梦因此破灭?
(2)

认识对称

第一印象

对称广泛存在。

对称:在大自然、生命、艺术、生活中有着巨大的意义。

对称性的美学价值是否由于对称在生命中的意义而确定的。或者说我们喜爱对称是否因为对称在我们的生命中起着至关重要的作用。

艺术家是否发现或感受到了大自然根据某种内在的法则赋予其创造物以对称性,然后再复制和完善大自然以不完整的形式呈现出来那种对称性?或对称性的美学意义有其完全独立的根源?

柏拉图和外尔:数学思想是上述两者的共同起源:支配者大自然的数学法则是自然界中对称性的缘由,这一思想在艺术家创造性的头脑中形成的直觉形象是对称性在一书中的美学价值的起源。

外尔,Hermann Weyl
(1) 名言:“我的工作总是试图将真和美统一起来,如果我必须做出抉择,我常常选择美。”
(2) 他的大部分工作时间是在瑞士苏黎世和美国的普林斯顿高等研究院(IAS)度过的,他仍被认为传承了以大卫·希尔伯特和赫尔曼·闵可夫斯基为代表的哥廷根大学学派的数学传统。他是IAS的早起成员。
(3) 他发表过的作品涉及时间、空间、物质、哲学、逻辑、对称性和数学史。他是最早把广义相对论和电磁理论结合的人之一。

外尔进一步认为:就艺术中的对称性的美学意义而言,人体和自然界中动物如鹰、狮虎等的外观的双侧对称性起着额外的激发作用。

为什么有对称:这个问题让人抓狂,直到现在都没很好地阐述。具体的事例有些有较好的解释,但一般的成因,机理等依然是迷雾重重。

 

艺术中对称与不对称

在艺术中显示出一种倾向:降低、放宽、修改,甚至是破坏严格的对称,如同生活本身那样。

但是不对称只在罕见的情况下仅由于是没有对称。甚至在不对称的图像中,人么仍感觉到对称是一个准则,依此准则在特征非规范的力的影响下偏离对称。

对称意味着静止和约束,秩序和规律,刻板和限制。

不对称意味着运动和松弛,随意和偶然,生气、变化和自由。

Thomas Mann:《Magic Mountain》描述了雪花六角形。"在它们那种细微到人类悠然看不见的华丽中,没有一片雪花是与另一片雪花相同。一种无尽的创造力支配者一种,而且是同样的基本类型:等边、等角的六边形的形成和不可思议的千变万化。然而每一个体全都有异常的,反有机的,无生命的特征——它们中的每一个都是绝对对称的,形态冷冰冰的地规则。它们过于规则,而适宜于生命的任何物质都不会有如此程度的规则性——生命的本性在如此完美的精确前战栗,发现它是致命的,就是失望的精髓。现在汉斯卡斯托普感到他懂得了为什么古代建筑师要在他们的柱状结构的对称性中有目的地偷偷引入一些细小的变化。"

对称的含义:匀称和均衡,各部分比例和谐,不同局部之间构成的整体和谐性

一些重要的例子:双侧对称、平移对称、旋转对称........

外尔说对称:不管你把对称的含义定义得是宽还是窄,在人类的岁月里它一直是人们用于建立秩序、优美和完满的一个概念。

 

数学看对称

数学研究量与行。对称在行的范畴中。那数学怎样看对称?

外尔的处理:从“对称性 = 比例和谐”这个有些含混的观念出发,通过对称性的几种具体形式,如双侧对称性、平移对称性、旋转对称性、装饰对称性、晶体对称性等,逐步展现出对称性的几何概念,最后到达这些特殊形式基础的一般概念:构形的要素在某些变换下的不变性

某种程度上说,这个方式对所有理论认知都是典型的:从某一个一般但有些含混的原则(对称的感觉含义)开始,先寻找一个重要的例子,在其中我们的概念有具体且准确的意义(双边对称,也就是左右对称),并由此出发,更多由数学构造和抽象而非哲学幻想引导,逐渐再上升到一般性。如果幸运的话,最终得到的概念的普适性不会比原来的差。也许最终的概念可能在情感上的吸引力失去很多,但在思维的领域却有同样的,甚至是更强的统一力量,而且它是明确的,不再有含混的成分。

双边对称(左右对称)双边对称的几何意义是明确无误的,双边对称的物体或构形有一个固定的平面,它的对称性就是关于这个固定平面的反射不变性。

关于一个平面的反射:是空间到自身的一个映射(也说是空间的一个变换)\(\mathbf{S}\),它保持该平面的每一个点不动,对平面外的一个点\(\mathbf{p}\),过点\(\mathbf{p}\)做平面的垂线,垂线上还有唯一的另外一点\(\mathbf{p}^{\prime}\),到平面的距离与\(\mathbf{p}\)到平面的距离一样。变换\(\mathbf{S}\)可以写成\(\mathbf{S}: \mathbf{p} \rightarrow \mathbf{p}^{\prime}\)。如果\(\mathbf{p}\)在该平面上,则\(\mathbf{p}^{\prime}=\mathbf{p}\)。

旋转对称
平面上的旋转就是绕一个点旋转某个角度的变换。空间的旋转就是绕一个轴旋转某个角度的变换。如果旋转角度是\(2 \pi / n\),那么重复\(n\)此这样的旋转,就成为了旋转\(2 \pi \)了,这时平面或空间的每一个点都是保持不动的。

平移对称(平移变换)
平移就是空间的每一个点都按相同的方向移动同样的距离。用坐标写比较方便,比如对于三维空间而言,由向量\((a, b, c)\)确定的平移变换就是$$\text { S: }(x, y, z) \rightarrow(x, y, z)+(a, b, c)$$

伸缩变换
伸缩变换就是空间的每一个向量都按照某个固定的比例伸展或缩小。用坐标写出伸缩变换也是容易的,假设比例是\(\alpha\),那么它确定的伸缩变换就是$$\text { S: }(x, y, z) \rightarrow \alpha(x, y, z)$$

旋转+伸缩变换:(鹦鹉螺)
滑动反射(平移+反射):人沿着直线走,左右两侧的脚印。

螺旋结构(平移+旋转):DNA的双螺旋结构。
对称后面的群结构

对称:构形的基本成分在变换下的不变性。

对五角星来说:
(1) 绕中心72°、144°,216°、288°、360°角的旋转都保持它的不变;
(2) 以连接顶点和中心的线为反射轴的反射也是保持它的不变的。
这十个变换告诉了我们五角星所具有的的全部对称特征,而且没有其他的变换保持了五角星不变了。

对一个图形施加一个变换后,可以接着施加同样的变换或另一个变换。这把我们引到映射的复合这一概念:如果变换\(\mathbf{S}\)把\(\mathbf{p}\)映到\(\mathbf{p}^{\prime }\),变换\(\mathbf{T}\)把\(\mathbf{p}^{\prime }\)映到\(\mathbf{p}^{\prime \prime}\),那么\(\mathbf{T}\)与\(\mathbf{S}\)的复合,记作\(\mathbf{TS}\),把\(\mathbf{p}\)映到\(\mathbf{p}^{\prime \prime}\)。也可以用等式表示这一点:$$\mathbf{T S}(\mathbf{p})=\mathbf{T}(\mathbf{S}(\mathbf{p}))=\mathbf{T}\left(\mathbf{p}^{\prime}\right)=\mathbf{p}^{\prime \prime}$$有一个特殊的变换,它把每一点映到自己,即保持每一点不动,它称为恒等变换,这里记作\(\mathbf{I}\)。显然对任意的变换\(\mathbf{S}\)有$$\mathbf{I S}=\mathbf{S I}=\mathbf{S}$$
如果两个变换保持一个图形不变, 对这个图形施加其中一个变换后, 接着施加其中的另一个变换, 图形还是不变的。换句话说, 如果变换\(\mathbf{S}\)和\(\mathbf{T}\)保持一个图形不变, 那么它们的复合\(\mathbf{T S}\)也是保持图形不变的。对变换\( \mathbf{S} \), 还可以定义它的逆变换\(\mathbf{S}^{-1}\):
如果\(\mathbf{S}^{-1}: \mathbf{p}^{\prime} \rightarrow \mathbf{p}\), 那么\(\mathbf{S}^{-1}: \mathbf{p}^{\prime} \rightarrow \mathbf{p} \)。显然, 如果\( \mathbf{S}\)保持一个图形不变, 那么\( \mathbf{S}^{-\mathbf{1}}\)也保持这个图形不变。而且\(\mathbf{S}^{-1} \mathbf{S}=\mathbf{S S}^{-1}=\mathbf{I}\)。

变换的复合还有结合性:\( \mathbf{R}(\mathbf{T S})=(\mathbf{R T}) \mathbf{S}\)

我们已经看到对称的本质是变换下的不变性。这个认识把我们引到如下的观点: 任何一个图形(构形是更合适的表达)我们都可以谈论它的对称性:那些保持它不变的变换(全体)精确地描述了图形的对称性(我们对对称的认识更深入了)。对一个构形(即图形),保持它不变的变换全体形成的集合\(\mathscr{Y}\)有如下的性质:
(1) \(\mathbf{I} \in \mathscr{Y}\)
(2) 对\(\mathbf{S}, \mathbf{T} \in \mathscr{Y}\), 有\(\mathbf{S T} \in \mathscr{Y}, \mathbf{S}^{-\mathbf{1} }\in \mathscr{Y}\)
(3) 结合律:\(\mathbf{R}(\mathbf{ST})=(\mathbf{R S}) \mathbf{T}\)

群的定义:集合\(\mathbf{G}\)称为一个群如果它有一个二元运算,满足结合律,有一个单位元素,每个元素都有逆元。即:
二元运算:对\(\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbf{G}\),有相应的元素\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \in \mathbf{G}\) ;
结合律:\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{( b} \cdot \mathbf{c})=(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} \);
单位元素:存在\(\mathbf{e} \in \mathbf{G}\),使得对任意\(\mathbf{a} \in \mathbf{G}\)有\(\mathbf{e} \cdot \mathbf{a}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}=\mathbf{a}\);
存在逆元:对\(\mathbf{a} \in \mathbf{G}\),存在\(\mathbf{b} \in \mathbf{G}\)使得\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}=\mathbf{e} \)。

群的例子

  • 整数集对于加法成为群,单位元是\(\mathbf{0}\);
  • 非零有理数全体对于乘法为群;
  • \(\mathbf{n}\)阶可逆实方阵对于矩阵乘法为群;
  • \(\mathbf{1 , 2}, \ldots, \mathbf{n}\)的排列有\(\mathbf{n} !\)个,在映射合成下为群,称为\(\mathbf{n}\)个文字的对称群或置换群
  • 一个集合到自身的可逆映射全体形成一个群。

对于一个构形,保持它不变的变换全体是一个群,称为这个构形的自同构群,也称为这个构形的对称群。有了自同构群的概念,不仅可以对构形(几何对象)谈对称性,还可以对任何有结构(几何的,代数的,分析的,音乐的,文学的等等)的对象谈对称性:保持结构的映射或变换全体精确反映了这个对象的对称性,称为这个对象的自同构群。

现在对称不仅有了更普遍的精确含义,而且有了研究它的适当的数学语言和工具:群。

自同构群(对称群)

平面上保持一个正\(n\)边形不变的保距变换有如下两种:
(1) 转角为\(2\pi/n\)的倍数的旋转,共有\(n\)个;
(2) 关于过原点和一个顶点所在的直线的反射,以及关于过原点和一条边的中点所在的直线的反射,共有\(n\)个。
所以这个自同构群(对称群)有\(2n\)个元素。它一般称作二面体群,记作\(D_n\)。

平面上保持一个圆不变的保距变换有如下两种:
(1) 绕圆心任意角度的旋转,有无穷多个;
(2) 关于过原点的任意一条直线的反射,有无穷多个。
所以这个自同构群(对称群)的元素数量巨大,无穷多个。

保持正四面体不动的保距变换如下:
(1) 恒等变换;
(2) 保持一个顶点不动的旋转有两个,转角分别是\(2\pi/3\),\(4\pi/3\),这样的旋转共有8个;
(3) 不相交的棱成对出现,以它们的中点的连线为轴,旋转180°,这样的旋转有三个;
(4) 以一个底面的一条中线和不在这个底面的顶点确定的平面为反射面,得到一个反射,这个反射和前面的旋转合成,得到12个变换。
于是正四面体的自同构群(对称群)共有24个元素。这个自同构群记作\(\mathbf{S}_{4}\),称作4个文字的对称群。它完全由四面体的四个顶点的变换确定。

如果给正四面体的四个顶点标上号:1,2,3,4,那么保持正四面体不变的那些(保距)变换在顶点上的变换结果是:1234(恒等变换),1243(一个反射),1324.........它们正是1,2,3,4的所有排列。

结论:构形的自同构群(即对称群)越大,这个构形就越对称。

富勒烯的分子的对称群就是正二十面体的对称群,和\(\mathbf{A}_{\mathbf{5}} \times \mathbf{S}_{\mathbf{2}}\)有一样的结构,其中\(\mathbf{A}_{\mathbf{5}}\)是5个文字的交错群,\(\mathbf{S}_{\mathbf{2}}\)是只含两个元素的群。有不少的文章研究富勒烯的对称性(如 symmetry of fullerenes)。

(1) 对这个装饰, 基本的结构是一 个三叶结。这个装饰的对称群包括的旋转和反射与正六边形的旋转和反射是一样的, 还有一些平移, 以及平移、旋转、反射的合成(或说复合)。
(2) 这是一种中国窗棂, 基本的结构是蓝色部分。这个装饰的对称群包括的旋转与正方形的旋转是一样的 , 还有一些反射、平移, 以及反射、平移、旋转的合成(或说复合)。
(3) 这是古埃及的一种装饰。 这个装饰的对称群和前面的中国窗棂是一样的: 包括的旋转与正方形的旋转一样, 还有一些反射、平移, 以及反射、平移、旋转的合成(或说复合)。

晶体群(平面)

刚才的三个例子背后的群都是平面上一些装饰的对称群。这些装饰有一个特点:保持装饰不变的平移有两个方向。

如果一个平面构形有两个方向的平移保持它不变,这个构形其实和晶体的性质本质是一样的。这时候保持构形不变的旋转受到很大的限制: 旋转角只能是\(30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}\)以及它们的倍数。(我们这里默认了一个条件:构形的对称群是离散的。)

这样的构形只有17种,也就是说平面的晶体群只有17个。这17种构形都出现在古代的装饰中。

晶体群(空间)

现实中的晶体有惊人的对称性。保持晶体不变的平移有三个向。这对保持晶体不变的旋转带来很大的限制:旋转角只能\(30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}\)以及它们的倍数。(我们这里用了一个条件:晶体的对称群是离散的)

空间的晶体群只有230个。这也给出了晶体的分类:230种。这是费德洛夫的工作。

劳厄、布拉格父子因为用X射线确定了晶体的原子格点(lattice,或说晶体结构)分别获得诺贝尔奖。

新观点看圆锥曲线的对称

抛物线、椭圆、双曲线都是中学学过的,那时也说到它们关于某个轴的对称,关于原点的对称等。

例如\(y=x^2\)的图像,它是关于\(y\)轴对称的,本质就是方程在变换\(x \rightarrow   -x\)下的不变性。就是说方程在某些变换下的不变性带来图像的某些对称性。

方程\(x^2+y^2=a^2\)的图像,它对于绕原点的旋转不变,本质就是方程在变换$$\begin{aligned} &x \rightarrow x \cos \theta+y \sin \theta \\ &y \rightarrow-x \sin \theta+y \cos \theta \end{aligned}$$下不变。同样,它在变换\(x \rightarrow \pm x,y \rightarrow \pm y\)下不变,在图像上的效果是对某些坐标轴或原点的反射不变。

前面的例子表明方程在变换下的不变性的意义重大。方程有各种各样的:代数方程、函数方程、微分方程、积分方程等等。它们在变换下的不变性都是值得特别注意的。

例如多项式$$x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}, \quad x^{3}+y^{3}+z^{3}+h^{3}$$都有很明显的对称性,不定元的地位都是一样的。它们的对称群很容易确定,分别是\(\mathrm{S}_{3}\)群(三个文字的对称群),\(\mathrm{S}_{4}\)(四个文字的对称群)。

研究在变换下不变的多项式的理论就是不变量理论,在19世纪后半叶是数学最活跃的研究方向之一,布尔、赫塞、凯莱、西尔维斯特、雅各比、埃尔米特、克莱布尔、哥尔丹、诺特等都有重要的贡献。希尔伯特是经典不变量理论的集大成者和终结者。

不变量理论是数学的一个分支,它研究群在代数簇上的作用。不变量理论的古典课题是研究在线性群作用下保持不变的多项式函数。

现代的不变量理论则是处于代数几何、代数群和表示理论的一个交汇处,在数学和物理中都有广泛的应用,尤其是模空间的构造和研究,人们一直对它保持着很大的兴趣。

 

物理中的一些对称

杨振宁:20世纪理论物理的三个主旋律,量子化、对称性、相位因子。

物理中的对称:单摆运动、圆周运动、水波、螺旋运动......

更深的是物理定律背后的对称性。影响最为深远的当推诺特定理
定理(诺特, 1918 ) If the integral I is invariant under a \(G_{\rho}\) then there will be \(\rho\) linearly independent couplings of the Lagrangian expressions with divergences; conversely, the invariance of I under a \(G_{\rho}\) follows from the latter. The theorem is also true in the limiting case of infinitely many parameters.

诺特是德国数学家,是抽象代数和理论物理学上声名显赫的人物,被很多人认为是历史上最杰出的女性数学家。在物理方面,她所证明的诺特定理揭示了对称性和守恒定律之间的紧密关系。她的导师保罗·哥尔丹是不变量理论研究的重要人物。

\(I\)是拉格朗日函数\(L\)的变分,\(G_{\rho}\)是连续群,有\(\rho\)个参数。一个物理系统的拉格朗日函数(亦称作拉格朗日量)\(L\)就是动能\(K\)与势能\(V\)的差\(  K-V\)。诺特定理常常被称作数学物理中最优美的定理。定理的意思是:如果一个物理系统的拉格朗日函数在一个连续变换群的作用下是不变的,那么有一个守恒律与之对应,反之亦然。

这个定理揭示了对称与守恒律的联系,对以后物理的发展尤其是粒子物理的发展影响巨大。对称是比守恒律更基本的性质

  • 如果系统的拉格朗日函数在时间平移变换下是不变的,那么系统的能量是守恒的;
  • 如果系统的拉格朗日函数在空间平移变换下是不变的,那么系统的动量是守恒的;
  • 如果系统的拉格朗日函数在空间旋转变换下是不变的,那么系统的角能量是守恒的。

广义相对论中有些情况能量不一定是守恒的,例如宇宙学红移。对于这个困扰,希尔伯特和克莱因青诺特考虑原因。诺特发现守恒律来自系统的对称性(某些连续变换下不变的性质),能量守恒来自时间平移变换下的不变性。在在经典的牛顿力学中,时空是绝对的,时间与空间是独立的,是线性的,而在广义相对论中时空是相对的,时间和空间是联系在一起的,时间平移一般不形成群。在广义相对论中能量守恒只在一些特殊情况下成立,那些情况空间近似独立于时间。

诺特定理的证明不难,利用最小作用量原理(费马最短光程原理是一个特殊情况)。该定理不仅适用于经典力学,也适用于量子力学、相对论、量子场论。例如:带电粒子的波函数的相位不变性蕴含电荷守恒。

在标准模型,规范场论都可以看到诺特定理的影响。

对称:变换下的不变性。在这个观点和认识下可以发现牛顿力学背后的对称性:伽利略变换不变的,即不依赖惯性系(对不同惯性系都是一样的);麦克斯韦的洛伦兹变换不变性是一个规范不变性。

伽利略变换和洛伦兹变换可以看李永乐视频

在20世纪前,对称的观点(或者说原理)在理论物理研究中几乎是没有出现。在20世纪,发生了急剧的变化。爱因斯坦把对称性放到极其突出的位置,认为对称原理是大自然对运动规律约束的首要特征。

量子力学中对称原理发挥着更大的作用。借助于群论尤其是群表示论,对称的很多结果被解释,例如支配原子光谱的选择规则只是旋转对称的结果。还有利用群表示理论,预测Ω粒子的存在,后来也被实验发现。

对称在线代物理中起着越来越重要的作用,内容包括定律背后的对称性,对称原理和对称论证。

对称原理: 要求物理定律满足某些特定的对称性(即在某些变换下是不变的)。爱因斯坦的狭义相对论(洛伦兹变换下是不变的) 和广义相对论都应用了这个原理作为向导构造理论。它是理论物理方法论的重要工具。时间晶体也是一个很好的例子。

对称论证:就现象或对象的对称性进行分析以得到某些特定的结论。例子包括阿基米德杠杆原理(基于假设:距离杠杆支点等距等重的物体是平衡的)、氢原子中电子的圆形轨道说明原子核作用在电子上的库仑力的各向同性、布里丹的驴

 

化学和生物中的一些对称

半个世纪前,对称的观点在化学中几乎是被忽略的,在教学中很少被提及。不过现在很不一样了。在结构化学中点群和群的表示都会出现。

分子结构、分子振动的分类,分子轨道,电子结构的分析,化学反应,观察和发现新的反应、分子、材料等,对称的考虑都是有帮助的。(参考文献:symmetry arguments in chemistry;symmetry through the eyes of a chemist)

外观的对称:高等动物的双边对称,低等动物和植物中更丰富的对称,病毒衣壳的对称(分子水平上能量极小化的结果)等。

基因表达的建模和遗传密码进化的建模上可以运用群论,有时结果是出人意料的。(参考文献:symmetry in biology: from genetic code to stochastic gene regulation )

 

回顾和总结

从“对称性 = 比例和谐”这个有些含混的观念出发,通过对称性的几种具体形式如双侧对称性、平移对称性等的考察,展示了对称性的几何概念,形成一个抽象的对称概念:构形的要素在某些变换下的不变性。对称的这个概念可以用到非常广泛的对象如方程、函数、各类结构等,揭示了对称这一概念的深刻内涵。

在这个过程中体现了数学的智慧,直观到抽象带来对称的深刻认识,揭开了直观背后深邃的面纱。

对称是世界的一种深刻的存在,以不同的面目在不同的层次上出现。从直观的形式到物理定律背后的对称,宏观的世界,微观的世界,有机/无机的世界,都能看到对称的存在。

研究对称的主要工具是群,还有其他的一些代数结构也是研究对称的工具。群论在数学、物理、化学等都取得令人赞叹的成功。

对称的意识和思维是很有价值的。

拓展资料:
(1) 让杨振宁和李政道获诺奖,宇称不守恒中的对称破缺到底是什么?于渌(视频)
(2) 于渌(文字版)
(3) 图书《可畏的对称》
(4) 对称破缺——美妙思想来自凝聚态物理 | 量子群英传
(5) 爱因斯坦告诉你:谁是最伟大的女数学家?
(6) 于渌院士:对称破缺的物理“美”在何处方​【云里·悟理-第30课】
(7) 30页手算解决物理学争论——相变、对称性破缺与时间晶体
(8) 从对称性破缺到物质的起源
(9) 物理学中的演生现象
(10) 探索自然界的对称性和基本规律

Leave a Reply