热方程讨论

上节我们知道，对于非周期函数的傅里叶分析为$$\begin{aligned}
C_{k} &=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-2 \pi i \frac{k}{T} t} d t \\
f(t) &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} C_{k} e^{2 \pi i \frac{k}{T} t}
\end{aligned}$$前面提到的问题是，如果选择的周期时无穷大，那么傅里叶级数的系数是无穷小，为了避免无意义的讨论，我们将无穷小和无穷大移到等式的同一边，然后看看结果，即把\( T \)移到\(  C_{k}\)一侧。

新符号\(  \mathcal{F}\)

这个新符号可以看作是傅里叶变换的算符(Fourier transform operator)，延续上面的思路有$$\mathcal{F} f\left(\frac{k}{T}\right)=C_{k} \times T=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-2 \pi i \frac{k}{T} t} f(t) d t$$于是$$f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \mathcal{F} f\left(\frac{k}{T}\right) e^{2 \pi i \frac{k}{T} t} \frac{1}{T}$$因为\(  k\)可以取正负无穷大范围，周期\(  T\)是正无穷大，所以\(  \displaystyle\frac {  k}{T  } \)的取值范围也是负无穷大到正无穷大；时间间隔\( \displaystyle\frac{1}{T} \rightarrow 0 \)，趋于连续变量。引入连续变量\(  s= \displaystyle\frac {  k}{T  }\)，考虑周期无穷大的情况，于是有$$\begin{array}{c}
s=\displaystyle\frac{k}{T},-\infty<s<\infty \\
\mathcal{F} f(s)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} f(t) d t
\end{array}$$而\(  f(t)\)表达式中的加也因为无线分割变为连续积分的情况(其中\(  \displaystyle\frac{1}{T}\)为\( \Delta  s \)，取极限情况就是\( ds \))$$f(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F} f(s) e^{2 \pi i s t} d s$$

注：其他形式傅里叶变换的写法为\(  F(\omega )=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i \omega t} d t\)，对比上面的\(  \mathcal{F} f(s)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} f(t) d t\)，即\(  2\pi s=2\pi\displaystyle\frac{k}{T}=\omega\)。前面的\( \omega \)是一个变量，而\( 2\pi s \)或者说\( 2\pi\displaystyle\frac{k}{T} \)是无限小的角速度\(\displaystyle\frac { 2\pi }{  T}   \)的\(  k\)倍(正负整数)，二者在极限情况下是可以等价的，即通过调整\(  k\)得到任意想要的连续的\(  \omega \)值。

结论(定义)

如果\( f(t) \)的周期被定为为在整个实数域中，即\( -\infty<T<\infty \)，那么其

傅里叶变换：$$\mathcal{F} f(s)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} f(t) d t$$

傅里叶逆变换：$$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{2 \pi i s t} \mathcal{F} f(s) d s$$或$$\begin{array}{l}
\mathcal{F} f(s)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} f(t) d t \\
\mathcal{F}^{-1} g(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{2 \pi i s t} g(s) d s
\end{array}$$

注：
(1)\(  \mathcal{F}\)表示正变换，\(  \mathcal{F} f(s)\)其实就是我以前接触的\(  F(s)\)；\(  \mathcal{F}^{-1}\)表示傅里叶逆变换。
(2)傅里叶正变换把函数在连续复指数上分解；傅里叶逆变换把这些连续复指数组合成原函数。
(3) \(  t\)不总是时间，\(  s\)不总是频率，不要局限。
(4) 宇宙中最major的秘密，每个信号都有频谱(spectrum)(积分存在)，频谱决定了信号。一个函数的分析和合成是研究同一事物的两种方式。
(5)  知乎网友提到\(  \begin{array}{l} y_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x_{1}+x_{2}\right) \\ y_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x_{1}-x_{2}\right) \end{array}\)也是傅里叶变换，我个人理解的话，可以把\(  y\)看成向量，\(  x\)也是向量，如此上式可以写成矩阵的乘法形式，这里的系数\(  \frac{1}{\sqrt{2}}\)是为了让系数矩阵的行列式的绝对值为\(  1\)，如此一来向量\(  x\)和向量\(  y\)的模长相等(“能量守恒”)。

零点的值$$\begin{aligned} \mathcal{F} f(0) &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i 0 t} f(t) d t=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) d t \\ \mathcal{F}^{-1} g(0) &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{2 \pi i s 0} g(s) d s=\int_{-\infty}^{\infty} g(s) d s \end{aligned}$$注：零点的傅里叶变换，等于函数的积分；类似于，零处的傅里叶系数，等于函数的平均(一个周期内)。而频谱函数的积分就是\(  t=0\)时的时域函数图像。

思考：
(1)  一个函数\(  f(t)\)，我们可以把它看成特殊的向量，而标准正交的基底为\(e^{2 \pi i s t} \)(其中\( s \)的取值范围是负无穷到正无穷)，而函数\( f(t) \)在基底上的投影，是\( f(t) \)乘以基底的共轭，然后积分(对于周期函数积分区间就是一个周期，对于非周期函数，积分区间就是负无穷到正无穷(其实就是保证完全覆盖信号区间))。注意这一点和量子力学中的是一样的：取共轭。
(2)  \(e^{2 \pi i s t} \)对于每一个正的\(  s\)，必然有一个负的\(  s\)与之对应，中间是\(  s=0\)的实数基，呈现两边对称的关系。而且实函数\(  f(t)\)既然投影到复空间，为了保证分析之后合成操作得到的是实数函数，必然有正\(  s\)前面的投影系数和负的\(  s\)前面的投影系数共轭。这种双重共轭的关系，保证了整个函数在操作过程的实数性。
(3)   为了得到\(  f(t)\)在\(e^{2 \pi i s t} \)上的投影，我们乘以了基底的共轭(带负号)然后积分，这是“分析”过程；而合成的话，只需要\(e^{2 \pi i s t} \)乘以分析的结果，然后积分。
(4) 傅里叶变换或者逆变换的操作都可以看作是算符，或者说一个特殊的矩阵(无限大)，作用在一个无限维的函数向量上。
(5)  前面提到“零点的傅里叶变换，等于函数的积分”，我们可以这样思考：频率取零，那么\( e^{-2 \pi i 0 t} \)可以看作是一个无限大的行向量，而且每个元素都为\(  1\)，这样和\(  f(t)\)内积然后加和(积分)，即为\(  \mathcal{F} f(0)\)。另外频率为零，意味着该“基”没有oscillating的作用，那么\(  f(t)\)中的振荡成分在积分的时候必然为零(正余弦积分)，剩下的就是非振荡的成分，即信号中DC component(\(  \mathcal{F} f(0)\))。
(6)  如果取时域变量为零，那么在“合成”的时候，无论是非振荡的基还是振荡的基，都会转变成非振荡的基(实数基，大小为\(  1\))；那么我们在合成的时候，相当于把函数在原有基集合上的投影系数(傅里叶系数极限)加和(无穷系数的加和即积分过程)，最终得到的实数就是\(  f(t)\)在\(  t=0\)处的函数值。(重新组织语言)
(7)  时域信号的傅里叶变换得到的是频域(以\(  e^{2 \pi i s t} \)为基底)的各个点(分量)的函数值(系数)，频域信号的逆变换，得到的是时域函数以\( e^{-2 \pi i s t} \)为基底的各个点(分量)的函数值(系数)。
(8)  频域(时域)的一个点的数值，都对应时域(频域)的无穷积分值，这种关系也是“测不准原理”的一种表现形式。

傅里叶变换例子

(1)矩形函数$$\pi(t)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & |t|<\frac{1}{2} \\ 0 & |t| \geqslant \frac{1}{2} \end{array}\right.$$傅里叶变换如下：$$\begin{aligned} \mathcal{F} \pi(s) &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i s t} \pi(t) d t \\ &=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{-2 \pi i s t} d t \\ &=-\left.\frac{1}{2 \pi i s} e^{-2 \pi i s t}\right|_{\frac{1}{2}} ^{\frac{1}{2}} \\ &=-\frac{1}{2 \pi i s} e^{-2 \pi i s \frac{1}{2}}-\left(-\frac{1}{2 \pi i s} e^{-2 \pi i s\left(-\frac{1}{2}\right)}\right) \\ &=-\frac{1}{2 \pi i s} e^{-\pi i s}+\frac{1}{2 \pi i s} e^{\pi i s} \\ &=\frac{1}{\pi s}\left(\frac{e^{\pi i s}-e^{-\pi i s}}{2 i}\right) \\ &=\frac{1}{\pi s}\left(\frac{\cos (\pi s)+i \sin (\pi s)-\cos (-\pi s)-i \sin (-\pi s)}{2 i}\right) \\ &=\frac{1}{\pi s}\left(\frac{2 i \sin (\pi s)}{2 i}\right) \\ &=\frac{\sin (\pi s)}{\pi s} \\ &=\operatorname{sinc} s \end{aligned}$$该函数被称为\( \operatorname{sinc} \)函数，图形如下(从中间最大函数值，向两侧振荡而且慢慢die off)

注：
1. \( \operatorname{sinc} \)函数电气工程师很熟悉，数学家想到的是极限为1(取\(  s\)为零)，关于求解其积分值可以参考这里。
2. 如果上面的\(  \pi(t)\)函数表示的长方形，宽度不断缩窄，高度不断增加，同时保持长方形的面积为\(  1\)，那取极限的情况\(  \pi(t)\)即为\(\delta (x)   \)。
3. 另一方面，如果这里的长方形的高度不变，宽度不断增加(趋于无穷)，那么\(  \pi(t)\)等价于一个常数函数，其傅里叶变换就是\( \delta (x) \)(我们将在后面“分布的傅里叶变换”证明)。
4. 如果\( a \rightarrow \infty \)，那么\( \displaystyle\frac{\sin x a}{x a}=\pi\delta(x a)=\pi \displaystyle\frac{1}{a} \delta(x) \)，推导参考这里。那么\( \displaystyle\frac{\sin(\pi a s)}{\pi s}=a\displaystyle\frac{\sin(\pi a s)}{\pi as}=a\pi \displaystyle\frac{1}{\pi a} \delta(s)=\delta(s) \)。注意如果\( \pi(t) \)长方形的宽度增加为原来的\(  a\)倍，那么相当于\(  \displaystyle\frac{\sin (\pi s)}{\pi s}\)变为 \(  \displaystyle\frac{\sin (\pi a s)}{\pi s}\) 。其实这里的\( \operatorname{sinc} \)已经有点像\( \delta (x) \)了。

(2) 三角形函数$$\Lambda(t)=\left\{\begin{array}{cl} 1-|t| & |t|<1 \\ 0 & |t| \geqslant 1 \end{array}\right.$$
傅里叶变换如下：$$\begin{align*}\mathcal{F}\Lambda(s) &= \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}\Lambda(t)dt}\\ &=\displaystyle{\int_{-1}^{0}e^{-2\pi ist}(1+t)dt + \int_{0}^{1}e^{-2\pi ist}(1-t)dt}\\ &=\left(\left.(1+t)(-\frac{1}{2\pi is}e^{-2\pi ist})\right|_{-1}^0-\displaystyle{\int_{-1}^{0}-\frac{1}{2\pi is}e^{-2\pi ist}dt }\right)+\left(\left.(1-t)(-\frac{1}{2\pi is}e^{-2\pi ist})\right|_{0}^1-\displaystyle{\int_{0}^{1}-\frac{1}{2\pi is}e^{-2\pi ist}dt }\right)\\ &=\left(-\frac{1}{2\pi is}-\left. \frac{1}{4\pi^2i^2s^2}e^{-2\pi ist}\right|_{-1}^{0}\right)+\left(\frac{1}{2\pi is}+\left. \frac{1}{4\pi^2i^2s^2}e^{-2\pi ist}\right|_{0}^{1}\right )\\ &=-\left(\frac{1}{-4\pi^2s^2}-\frac{1}{-4\pi^2s^2}e^{2\pi is}\right)+\left(\frac{1}{-4\pi^2s^2}e^{-2\pi is} -\frac{1}{-4\pi^2s^2}\right)\\ &=\frac{-2+\cos(2\pi s)+i\sin(2\pi s)+\cos(-2\pi s)+i\sin(-2\pi s)}{-4\pi^2s^2}\\ &=\frac{-2+2\cos(2\pi s)}{-4\pi^2s^2}\\ &=\frac{-4\sin^2(\pi s)}{-4\pi^2s^2}\\ &=\frac{\sin^2(\pi s)}{(\pi s)^2}\\ &=\operatorname{sinc}^2s \end{align*}$$问：这里的结果正好是\( \operatorname{sinc}\)函数的平方，巧合还是必然？

注：傅里叶级数和傅里叶变换的辨析
1. 对于满足狄利克雷条件的周期函数，其傅里叶级数是由一组简单振荡函数(正弦与余弦函数，或等价的复指数函数)的加权和表示的方法。或者说，傅里叶级数对这种周期函数是完备的。
2. 傅里叶级数是周期变换(离散对周期，周期对离散)，傅里叶变换是一种非周期变换。
3. 傅里叶级数是以三角函数为基对周期信号的无穷级数展开，如果把周期函数的周期取作无穷大，对傅里叶级数取极限即得到傅里叶变换。
4. 傅里叶变换是从傅里叶级数推演而来的，傅里叶级数是所有周期函数都可以分解成一系列的正交三角函数，这样，周期函数对应的傅里叶级数即是它的频谱函数。
5. 傅里叶级数是周期信号的另一种时域的表达方式，也就是正交级数，它是不同频率(非连续频率变化)的波形的叠加，而傅里叶变换就是完全的频域分析。
6. 参考资料：傅里叶级数和傅里叶变换的关系