物理数学

常微分方程ODE,质点动力学。物理学中真正有用的是一阶和二阶,更高阶的只有数学上的意义。二阶线性常系数常微分方程最重要,最简单的就是一维简谐振子。会有线性独立解的概念,因为我们可以把函数看作是向量,那么向量的线性独立的概念同样也可以用在函数上。还涉及到算符、线性算符;本征值、本征函数(是否正交),可以定义函数和函数的内积。施图姆-刘维尔问题,引出特殊函数(勒让德函数、贝塞尔函数、伽马函数),以及傅里叶级数/分析。傅里叶变换、拉普拉斯变换是求解ODE和PDE的重要工具。

偏微分方程PDE,场动力学,物理量在时间和空间的分布。比如温度场,压力场,密度场,力场,电场,磁场,当然这里面既有标量场,又有矢量场。三维空间的话,自变量是四个。特例:均匀场,静场(静电学、静磁学)。

有耗散的波动方程,如果电磁波在真空中传播则没有耗散,如果是有介质的(可导电),那么就存在耗散项。

线性微分方程,无论是常微分还是偏微分都很好解,它们的解具有线性叠加性,这点很重要,对于我们求解很关键。数学家利用线性叠加的性质,发展出求解线性常/偏微分方程的方法,比如傅里叶级数、傅里叶变换、拉普拉斯变换、格林函数的方法以及猜的方法(有经验的话,物理/数学感觉)。

齐次/非齐次是针对线性方程而言的,如果微分方程都不线性,那么就无所谓齐次/非齐次。

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