复旦大学-电动力学

麦克斯韦方程组

  • 对于静止的电荷,会形成一个有源无旋的电场(想像一下电偶极子);
  • 对于稳定的电流,会形成一个有旋无源的磁场(想像一下磁偶极子);
  • 对于变化的磁场,会形成一个感生电动势,于是有一个涡旋电场(这个电场不同于静止电荷产生的电场),等式左边选取一个open surface积分就会得到感生电动势(斯托克斯公式)。

上面的每一条都有自己的适用条件和范围,在一般情况下,总而言之,激发源要么是\(  \rho\),即电荷的存在,要么是\(  \vec{j}\),或者是磁场随时间的变化;但是前面两个都可能随时间变化,因此描述它们行为的电磁规律是什么?更通用的公式组合是什么(考虑电荷和电流随时间变化) ?

第一条方程:总电场的散度只来源于静电场

\(  \nabla \cdot \vec{E}_{S}=\rho / \varepsilon_{0}\)是库伦定律导出的。电场变化的两种起源:
(1)  静电来源的电场;
(2)  感生电动势下的感应电场\(  \vec{E}_{K}\)(由于是是涡旋场,无源,所以散度为零)

因此总的电场散度$$\nabla \cdot \vec{E}(\vec{r}, t)=\nabla \cdot \vec{E}_{S}+\nabla \cdot \vec{E}_{K}=\rho(\vec{r}, t) / \varepsilon_{0}$$注:\(  \nabla \cdot \vec{E}_{K}=0\)是麦克斯韦的合理推广(无论电场(电荷产生或者感应产生的)还是磁场,要么有源无源无旋,要么有旋无源),老师说这个没有人证明。

第二条方程总电场的旋度只来源于感应场

两种电场都考虑进去,故其旋度为$$\nabla \times \vec{E}=\nabla \times \vec{E}_{S}+\nabla \times \vec{E}_{K}=-\displaystyle\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

第三条方程:磁场无源

由于自然界不存在磁偶极子,也就是无论什么情况下产生的磁场都是无源的,这一点不同于电场,电场既可以是有源无旋,又可以是有旋无源的。于是有$$\nabla \cdot \vec{B}(\vec{r}, t)=0$$注:推广到第三条的时候,需要考虑其是否和之前的两条方程矛盾。对第二条方程两边做散度\( \nabla \cdot(\nabla \times \vec{E})=-\nabla \cdot \displaystyle\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \)得到\(  \nabla \cdot \vec{B}=\mathrm{constant} \)与时间无关,那么系统从初始的静电磁场演化到动电磁场,那么该等式始终等于固定常数,而静电磁场中该系数为零,因此该系数始终都为零,即\(   \nabla \cdot \vec{B}=0\)任何情况下都成立。

第四条方程:位移电流

环路定理\( \nabla \times \vec{B}=\mu_{0} \vec{j} \)成立的条件是稳定电流(静磁),即\(  \nabla \cdot \vec{j}_{S}=0\)(对第一个式子两边取散度,也得到了电流密度为零\(\nabla \cdot(\nabla \times \vec{B})=\mu_0 \nabla \cdot \vec{j}=0\)),而在更一般的情况下(非稳恒电流)这个条件并不成立。比如即取一块体积,电荷的流入量和流出量不相等(存在电荷的积累或者逃逸),即\(\nabla \cdot \vec{j}=-\displaystyle\frac{\partial \rho}{\partial t} \neq 0\)这种情况下的环路定理是不成立的,这个公式要修改。我们假设一般情况下的环路定理为$$\nabla \times \vec{B}=\mu_{0} \vec{G}$$该公式必须满足:
(1) 恒流情况下,\( \vec{G} \)退化为\(\vec{j}  \);
(2) 满足(电)流守恒定律。

对上式两边取散度,得到\(  \nabla \cdot \vec{G}(\vec{r}, t)=0\)必须成立。利用电荷守恒定律\(  \nabla \cdot \vec{j}+\displaystyle\frac{\partial \rho}{\partial t}=0\)和\(  \rho=\varepsilon_{0} \nabla \cdot \vec{E}\),我们有$$\nabla \cdot \vec{j}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \rho=\nabla \cdot \vec{j}+\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\left(\varepsilon_{0} \nabla \cdot \vec{E}\right)=\nabla \cdot\left(\vec{j}+\varepsilon_{0} \displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \vec{E}\right)=0$$即\(  \vec{G}=\vec{j}+\varepsilon_{0} \displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \vec{E}\)满足我们的要求,所以安培环路定理的推广为$$\nabla \times \vec{B}=\mu_{0}\left(\vec{j}+\varepsilon_{0} \displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \vec{E}\right)=\mu_{0} \vec{j}+\mu_{0} \varepsilon_{0} \displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \vec{E}$$其中的\( \varepsilon_{0} \displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \vec{E} \)称为位移电流(Displacement current ),与传导电流有着相同的量纲,但却不是实际的传导电流。可以把位移电流理解成电流线的延续。

 

首先想一想电流在什么情况下不稳恒?如果是一个导线形成闭合回路,电流一定是稳恒的。如果是一个有效长度的导线,电流在外电场作用下流着流着,接着导线两端会出现电荷的积累,这种累积的电荷会产生反向的内建电场,阻碍电荷进一步积累,随着积累的电荷越多,这种阻碍作用越大,直到系统稳定了,两端积累的电荷产生的内部势场可以恰好抵消外部势场的的作用,电流流不动了,此时什么承载了电流的梦想呢?两端积累的电荷产生新的电场,将电场线发射出去。在这个动态过程中,外界电场即受来自电流部分的作用,又来自已经积累电荷部分的作用。\(  \nabla \cdot \vec{j}+\dot{\rho}=0\), 电流的非稳恒性与电荷的积累\( \dot{\rho} \) 通过流守恒定律 相互关 联, 而后者又反映到空间电场的变化。

汇总一下麦克斯韦方程组:$$\left\{\begin{array}{l} \nabla \cdot \vec{E}=\rho / \varepsilon_{0} \\ \nabla \times \vec{E}=-\displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \vec{B} \\ \nabla \cdot \vec{B}=0 \\ \nabla \times \vec{B}=\mu_{0} \vec{j}+\mu_{0} \varepsilon_{0} \displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \vec{E} \end{array}\right.$$在没有源的空间\(  \vec{j}=0, \rho=0\)中,麦克斯韦方程组为$$\left\{\begin{array}{l} \nabla \cdot \vec{E}=0 \\ \nabla \times \vec{E}=-\displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \vec{B} \\ \nabla \cdot \vec{B}=0 \\ \nabla \times \vec{B}=\mu_{0} \varepsilon_{0} \displaystyle\frac{\partial}{\partial t} \vec{E} \end{array}\right.$$变化的磁场产生有旋电场(第二个公式),变化的电场又产生有旋的磁场(第四个),如此互相激发产生。电场/磁场公式上有近乎完美的对称性,除了两点:
(1)  公式2和公式4系数上有差异(历史误会);
(2)  正负号的差异,没有这个符号的差异,电磁波就不复存在。位移电流的引入从另一个侧面深刻揭示了电场和磁场之间的联系:不仅变化的磁场激发电场,变化的电场同样地激发磁场,两者以涡旋形式激发,并左右手对称。

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