复旦大学-电动力学

 电磁感应定律

静电场与静磁场的对称性

感生电动势

奥斯特电生磁,法拉第磁生电,通过大量实验,法拉第给出了感应电动势的定量表达式\(\varepsilon_{\text {感 }}=\left|\displaystyle\frac{d}{d t} \displaystyle\int_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S}\right|\)。感生电动势(电流)的方向由楞次给出,形象理解就是“惯性”的力量,或者“哪里有压迫,哪里就有反抗”,或者“负反馈”,负号的深层含义是能量守恒。最终结果$$\varepsilon_{\text {感 }}=-\displaystyle\frac{d}{d t} \displaystyle\int_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S}$$磁通量的两种改变机制:
(1)  磁场本身发生变化(\(  \vec{B}\)变,称之【感生电动势】(induced EMF));
(2)  回路相对磁场发生变化(\(d \vec{S}  \)变,称之【动生电动势】(motional EMF))。

电动势(electromotive force, EMF):一定是非静电来源,是由外力来的,比如说电池依靠化学势,简而言之就是非静电来源的一个等效力所产生的能量。定义为:外力将单位电量的电荷在环路上驱动一周所提供的能量(注意此刻是非保守力场)。即$$\varepsilon=\Delta W / q=\displaystyle\oint \frac { \vec{F}_{K} }{ q }  \cdot d \vec{l}  $$其中\(  \vec{E}_{K}=\vec{F}_{K} / q\)与静电场的量纲相同,叫作非静电来源的等效场于是进一步改写为$$\varepsilon_{\text {感 }}=\displaystyle\oint_{C} \vec{E}_{K} \cdot d \vec{l}$$对电荷来说,它既能感受到静电场的静电力,也能感受到非静电场起源的这个作用力,而且它无法区分二者的差异,它都认为是一个场,即电场

对于产生感生电动势的情况:$$\displaystyle\oint_{C} \vec{E}_{K} \cdot d \vec{l}=-\displaystyle\int_{S} \displaystyle\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{S}$$而闭合回路斯托克斯定理\(  \displaystyle\oint_{C} \vec{E}_{K} \cdot d \vec{l}=\displaystyle\int_{S}\left(\nabla \times \vec{E}_{K}\right) \cdot d \vec{S}\),因为积分的曲面是任意的,因此感生电动势产生的电场$$\nabla \times \vec{E}_{K}=-\displaystyle\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$这个式子表明,当磁场发生变化(形成感生电动势)时:

  • 会产生一个涡旋的电场,类似无源有旋的静磁场(\(\nabla \times \vec{B}=\mu_0 \vec{j}\));
  • 这种电场不是电荷激发的,而是由变化的磁场产生的;
  • 无论是感生电动势,还是由此产生的电场,都需要一个闭合线圈去探测(产生电流),但是它的存在本身并不依赖于有没有线圈;
  • \( \vec{E}_{K} \)和静电场一样,对电荷产生驱动力\( \vec{F}=q\left(\vec{E}_{S}+\vec{E}_{K}\right) \),因此对电荷来讲,它感知到的就是空间的总电场\(\vec{E}=\vec{E}_{S}+\vec{E}_{K}  \),无论来源是什么;
  • 此时,为非保守场,KVL不成立。

对于动生电动势的情况:  涉及相对论,以后讨论。

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