MIT-微分方程

傅里叶级数和经典的偏微分方程

这部分的内容比较少,可以看视频MathTheBeautiful,进一步学习。

再谈傅里叶级数

对于周期函数函数\(  f(x+2 \pi)=f(x)\),我们可以用傅里叶级数展开$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \cos n x+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n x=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i n x}$$注意余弦项是从\( n=0 \)开始的,这样可以对应于没有任何振荡的常数项;等式右侧是指数函数表达式,注意它是从负无穷到正无穷。

        在确定傅里叶级数的参数的运算中最重要的概念就是“正交”。对于向量而言,正交的概念就是二者相互垂直,从数学公式上来说就是二者点积或者内积为零。而这里,我们判断正交的方式是两个振荡分量向量内积在\(  2 \pi \)周期内的积分为零。粗糙一点来说,举个例子,我们将\(  0\)到\( 2 \pi \)这个范围平均分成\( 10000 \)份,那么\(  \cos  2x\)按照x=linspace(0, 2π, 10000)分别取值会得到一个向量,同样对于\(  \cos 5 x\)也可以得到一个向量,那么这两个向量内积非常接近零,如果前面的范围分割成无穷多份,那么这里的内积值就等于零。

        傅里叶级数等式两侧乘以\(  \cos k x \)并积分,那么只有原表达式中含有\(\cos k x  \)的振荡分量会得到保留,其他的由于正交性都被消去了。得到$$\begin{array}{l} \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos k x d x=\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \cos n x+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n x\right) \cos k x d x \\ =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} a_{k}(\cos k x)^{2} d x=a_{k} \pi \end{array}$$于是\(a_{k}=\displaystyle\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos k x d x  \),用同样的方法可以求得所有的参数\(a  \),同理可以求得\( b_{k}=\displaystyle\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin k x d x \),而\(  a_{0}=\displaystyle\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \times 1 d x\)其实就是函数\( f(x) \)的平均值。

例子1:
我们对Delta函数做傅里叶级数展开,注意到该函数是个偶函数,只在\(  0\)点有一脉冲,而正弦函数都是奇函数,所以其前面的系数都是零。因此\( \delta(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \cos n x \)$$a_{0}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} \delta(x) d x=\frac{1}{2 \pi}, \quad a_{k}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \delta(x) \cos k x d x=\frac{1}{\pi}$$因此有$$\delta(x)=\frac{1}{2 \pi}+\frac{1}{\pi}(\cos x+\cos 2 x+\cos 3 x+\cdots)$$注意其实这里的展开式是针对周期为\(  2\pi\)的函数,上图只是函数的一个完整周期。

x=linspace(-20,20,100000); 
m=0; 
for i=1:1000 
    m=m+cos(i.*x); 
end 
y=1./(2*pi)+(1./pi).*(m); 
plot(x,y,'r','LineWidth',1.5)

例子2:
\( f(x) \)为一个奇函数方波,\(f(x)=\left\{\begin{array}{c} 1,0 \leq x<\pi \\ -1,-\pi \leq x<0 \end{array}\right.\)

函数为奇函数,所以余弦项的参数均为\(  0\),表达式中只有正弦函数项,其参数的序列为:\( b_{k}=\displaystyle\frac{2}{\pi}\left[\frac{2}{1}, \frac{0}{2}, \frac{2}{3}, \frac{0}{4}, \cdots\right] \),计算方法为$$b_{k}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin k x d x=\frac{2}{\pi}\left[-\frac{\cos k x}{k}\right]_{0}^{\pi}$$于是函数表达式为$$f(x)=\frac{4}{\pi}\left[\sin x+\frac{\sin 3 x}{3}+\frac{\sin 5 x}{5}+\cdots\right]$$这是一个阶跃函数,从参数变化可以看到参数是在衰减的,但是衰减并不快,因为函数本身不光滑,所以需要较大比例高频项的存在。$$\mathrm{smooth \,function}\Leftrightarrow \mathrm{faster \, decay}$$

例子3:【斜坡函数(ramp function)
将阶跃函数积分得到斜坡函数。偶函数,那么只有余弦项。通过对前面的阶跃函数积分,然后逐项对比得到$$r(x)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\left[\frac{\cos x}{1}+\frac{\cos 3 x}{3^{2}}+\frac{\cos 5 x}{5^{2}}+\cdots\right]$$注意常数项是从函数在区间的平均值得到的。从函数的参数看,其衰减速度比前面的阶跃函数的展开参数要快,这是因为这个函数本来就比阶跃函数要平滑,因此高频项的参数衰减较快。对于平滑的函数,傅里叶级数展开会相对容易,因为只需要前几项就可以达到效果,而对于突变型的函数,则需要很多项去拟合。GS老师提到高频振荡项可看作是噪音

求导法则
应用傅里叶级数的指数形式\(f(x)=\displaystyle\sum_{-\infty}^{\infty} c_{k} e^{i k x}  \)来讨论其求导法则。$$\frac{d f(x)}{d x}=\sum_{-\infty}^{\infty} i k c_{k} e^{i k x}$$除了正交性之外,具有简单的求导法则也是傅里叶级数应用广泛的主要原因。求导之后,高频系数项变大,因此导函数噪音项更大。

移位法则$$f(x-d)=\sum_{-\infty}^{\infty} c_{k} e^{-i k d} e^{i k x}$$移位之后发生相位变化,但是每一项的模长不变。想一下我们普通的函数移动就知道了。

 

边界条件替换初始条件求解微分方程

(Boundary Conditions Replace Initial Conditions)

我们前面讨论的微分方程的自变量都是时间\(  t\),给的初始条件都针对\( t=0 \)时刻的。现在我们的自变量变成了位置\( x \),那么对于二阶微分方程来说,其不具备两个初始条件,而是具有两个边界条件,例如方程\(-\displaystyle\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=f(x)  \),具有边界条件\( y(0)=0, y(1)=0 \)。函数在两侧边界被控制在\( 0 \)点,而在边界之间发挥作用(可以想一下驻波或者琴弦)。

通解的基本状态没发生变换,\(y(x)=y_{p}+C x+D  \),同样是特解和齐次解的线性组合,其中的两个待定的参数可以通过两个边界条件来确定。

例1:\( -\displaystyle\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=1 \)具有边界条件\( y(0)=0, y(1)=0 \)

函数通解为\(y=-\displaystyle\frac{1}{2} x^{2}+C x+D  \),带入到边界条件确定参数,因此通解\( y=-\displaystyle\frac{1}{2} x^{2}+\displaystyle\frac{1}{2} x \)。
应用举例:一个两端被固定的弹性棒,在自身的作用下被拉伸,拉伸的结果导致原为\(  x\)位置的微元其位移为\( y=-\displaystyle\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2} x \)。

例2:\(  -\displaystyle\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\delta(x-a)\)

弹性棒没有自重,只在\( x=a \)处有一个载荷,外力拉伸上班部分棒,压缩下半部分。
(1)  对于\( x<a \)的部分,\(-\displaystyle\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0  \),则\( y=C x+D \),代入\(y(0)=0  \),得\( D=0 \)。
(2)  对于\(  x>a\)的部分,\(-\displaystyle\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0  \),则\( y=E x+F \),其中\(y(1)=0  \),得\( E=F \)。
(3)  对于\(x=a  \)点,因为没有发生任何破坏,则前面求出的两个表达式应该相等,因此函数图像为:对于\(\delta(x-a)  \)在\( x=a \)点处积分得到的是\( 1 \),于是根据\(  -\displaystyle\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\delta(x-a)\)那么函数\( y \)在\( x=a \)点前后斜率的变化率为\(  -1\)。代入方程可求得\(  x<a\)时,\( y=(1-a) x \);而\( x>a \)时,\( y=(1-x) a \)。

 

拉普拉斯方程(Laplace Equation)

$$\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$$是最重要的三个偏微分方程之一,通常会给定边界条件,例如\(x-y  \)平面上的一个圆\(u=u_{0}  \),求解在边界之内的\( u(x, y) \)。

我们通过简单尝试,可以知道拉普拉斯方程的简单解的函数包括:\(  1, x, y, x^{2}-y^{2}, 2 x y\)。其解函数的基本模式为\( u=\operatorname{Re}(x+i y)^{n} \)或者\(u=\operatorname{Im}(x+i y)^{n}  \),例如三阶的解函数包括\( x^{3}-3 x y^{2} \)(实部)和\(3 y x^{2}-y^{3}  \)(虚部)。当然,所有的解函数的线性组合仍旧是拉普拉斯方程的解。

例子:在\(x-y  \)平面的一个圆中秋拉普拉斯方程的一个解,这里用更加方便的极坐标表示法。那么可以将解函数写成指数函数的形式$$(x+i y)^{n}=(r \cos \theta+i r \sin \theta)^{n}=r^{n} e^{i n \theta}$$则有$$u=\begin{array}{l} \mathrm{Re} \\ \mathrm{Im} \end{array} r^{n} e^{i n \theta}=\begin{array}{l} r^{n} \cos n \theta \\ r^{n} \sin n \theta \end{array}$$因此可以得到通解为$$u=\sum a_{n} r^{n} \cos n \theta+\sum b_{n} r^{n} \sin n \theta$$这实际上就是傅里叶级数,\( a_{n} r^{n} \)和\(  b_{n} r^{n}\)是每一个振荡分量前面的参数。匹配边界条件就可以确诊这些参数。比如在圆的上半部分的边缘温度为\( 1 \),下半部分的边缘温度为\( -1 \),那么在稳定状态时,根据对称性我们当然知道上下两部分的对称轴上所有点的温度都是\( 0 \),那么对于圆内其他点的温度,我们就可以在确定前面的参数之后计算出来。这里我们其实是将拉普拉斯方程简化成傅里叶级数的问题

        拉普拉斯方程可以简写为\( \nabla^{2} \varphi=0 \),这其实是泊松方程\( \nabla^{2} \varphi=f \)右侧\( f=0 \)的情况。拉普拉斯方程描述的是一种平衡状态,它的解函数与实践的演化无关,就是给出平衡条件下的空间分布状态。我们可以从差分方程的角度来看一下拉普拉斯方程所描述的状态:\( \displaystyle\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \)可以写成\(\displaystyle\frac{U_{i+1, j}-2 U_{i, j}+U_{i-1, j}}{(\Delta x)^{2}}  \)的形式,同样\(  \displaystyle\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\)变为\( \frac{U_{i, j_{+1}}-2 U_{i, j}+U_{i, j-1}}{(\Delta y)^{2}} \),位置微元\( \Delta x=\Delta y \)。则\(\displaystyle\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\displaystyle\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0  \)等价于\(  4 U_{i, j}-U_{i+1, j}-U_{i-1, j}-U_{i, j_{+1}}-U_{i, j_{+1}}=0\)。即符合该方程的函数,其某点的函数值等于周边四个点函数值的平均值。换句话说一个点A,其周围有一堆点,这一堆点中每个点都可能和A存在温度梯度,导致热的流动,但将这一堆点对A点由于温度梯度导致的热流效果叠加的结果为零,即A点的温度保持不变,虽然和周边点的温度可能不同。因此拉普拉斯方程描述的就是平衡态,不仅是这里讨论的二维的情况,三维同样适用。

      我们这里的\( u \)温度是一个标量,求了一阶导数得到的是一个向量场(温度梯度场,或者叫热流密度失量场),每一点的向量场的矢量为\(  (\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x},\,\frac{\partial u}{\partial y})\)或者写成\(  \displaystyle\frac{\partial u}{\partial x} \mathbf{i} +\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}\mathbf{j}\)。然后再求一阶导数,相当于对向量场求导然后将导数相加,得到的就是散度,即在该点邻域空间的净流量,在我们这里是热流量,拉普拉斯方程中每一点的温度梯度的散度(净热流量)就是零,因此每一点的温度都保持不变,即为平衡态。
(1)  散度为正的点是“热源”,热量从其中流出;
(2)  散度为负的点是“冷源”
(3)  因为标量函数的梯度往往是一种“驱动力”(或者叫“趋势”),而针对“驱动力”求散度就可以知道空间中“源”的分布。

问:拉普拉斯方程的傅里叶级数解(Fourier Series Solution of Laplace’s Equation)?
答:
拉普拉斯方程中通常给定的边界条件是一个函数,而不像一般的二阶常微分方程给出的初始条件或者边界条件是两个点的函数值。

常见问题比如在一个二维平面的圆中求解拉普拉斯方程\(\displaystyle\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\displaystyle\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0  \),方程代表着热或者温度在孤立条件下的分布状态。本例中,我们在圆的右端点施加一个点热源,即整个边界函数是一个Delta函数,圆边缘其他点的温度均为零,只有最右端的点有热量的输入。我们同样采用更简便的极坐标表示法,根据前面的推导,我们知道方程的解可以写成傅里叶级数的形式:$$u(r, \theta)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} r^{n} \cos n \theta+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} r^{n} \sin n \theta$$其中的边界函数为\(u(1, \theta)=\delta(\theta)  \),这里的\( r=1 \)描述的是半径为\(  1\)的圆的边缘的温度分布。所以$$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \cos n \theta+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n \theta=\delta(\theta)$$这里就将求解拉普拉斯方程变为求解\( \theta \)函数的傅里叶级数的表达式。\( \theta \)函数是一个偶函数,所以正弦项的系数全为零(除了没有振荡的\(n=0  \)的项)。

求得参数为\( a_{0}=\displaystyle\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} \delta(x) d x=\frac{1}{2 \pi} \),\( a_{k}=\displaystyle\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \delta(x) \cos k x d x=\displaystyle\frac{1}{\pi} \)。因此边界函数为$$\delta(x)=\frac{1}{2 \pi}+\frac{1}{\pi}(\cos x+\cos 2 x+\cos 3 x+\cdots)$$

        拉普拉斯方程描述的是一种平衡态,解函数只和位置有关与时间演化无关,就是给出了平衡态下温度的空间分布状态,本例中的解函数描述的就是一个点热源造成的空间分布(当然该点之外的温度也要固定住)。前面我们通过\(  \theta \)函数已经确定了所有的参数,但是那个是针对\(r=1  \)的情况,现在我们加入\(r^{n}  \)项,即代入\(  u(r, \theta)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} r^{n} \cos n \theta+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} r^{n} \sin n \theta\)函数表达式中,得到$$u(r, \theta)=\frac{1}{2 \pi}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\pi} r^{n} \cos n \theta=\frac{1}{2 \pi} \frac{1-r^{2}}{1+r^{2}-2 r \cos \theta}$$讨论:
(1)   对于圆内的点有\(  r<1\),所以越靠近圆心的点前面的衰减系数项\( r^{n} \)越小,那么温度就越接近零(即中心点的温度,根据对称性知比为零)。
(2)   考虑\( \theta=0  \)   的情况,即从原点到热源点的这一段线,解函数为$$u(r, 0)=\frac{1}{2 \pi} \frac{1-r^{2}}{(1-r)^{2}}=\frac{1}{2 \pi} \frac{1+r}{1-r}$$由此可知在\(  r=0\)处,即圆心处,解函数就是函数在整个区域的平均值,这也是拉普拉斯方程解函数的特点。其实在边界圆之内的任意一个圆环中,中心店的的函数值都等于该圆环上函数值的平均值。拉普拉斯方程就是有这种“平均”的效果,并且它给出了平滑的函数,本例中除了特定点的一个突变外,边界之内的函数是非常平滑的,其数值不超过边界的极值范围。

拉普拉斯差分方程(拉普拉斯五点格式)
对于一些复杂的边界条件,无法求出其拉普拉斯方程的傅里叶级数解。此时拉普拉斯方程仍为\(\displaystyle\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0  \),但求解方法变为将其边界内区域划分为网格,在每个网格上都会有一对应的函数值,每个函数值等于其附近四个网格点函数值的平均值$$u_{0}=\frac{1}{4}\left(u_{E}+u_{W}+u_{N}+u_{S}\right)$$该等式也被称为拉普拉斯差分方程或者拉普拉斯五点格式,若将所有点的函数值方程列出来就是一个巨大的方程组。

 

传热方程(Heat Equation)

历史:历史上第一个偏微分方程:wave equation \(  u_{tt}-c^{2} u_{x x}=0\),由达朗贝尔第一个导出,丹尼尔伯努利拉小提琴实验也导出了波动方程。丹尼尔的好朋友欧拉为了去俄国科学院工作,也开始研究耳朵是如何听到声音,于是也导出了波动方程。傅里叶要解决heat equation,那么时代研究传热方程,因为殖民主义,船队,木材,烤木头。黎曼积分也是研究这个传热而来的。 傅里叶分析最开始是为了解PDE。问题是数学的生命,不一定是应用的问题。

最重要的三个二阶偏微分方—传热方程。拉普拉斯方程中没有自变量时间\( t \),只包含位置信息和对应的温度信息。而传热方程同时包含时间和位置信息,一维空间方程写作$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$$我们希望像求解常微分方程时一样,能将变量分离开,例如解函数结构为\( u(t, x)=e^{\lambda t} S(x) \)。其中\(  \)为特征值,而\(  \)为特征函数。将解函数的形式代入微分方程可以得$$\lambda e^{\lambda t} S(x)=e^{\lambda t} \frac{\partial^{2} S}{\partial x^{2}} \Rightarrow \lambda S(x)=\frac{\partial^{2} S}{\partial x^{2}}$$由此可知\( S(x)=\sin k \pi x \)为正弦函数,特征值\( \lambda=-k^{2} \pi^{2} \)。因此方程的通解为$$u(t, x)=\sum_{k=1}^{\infty} B_{k} e^{-k^{2} \pi^{2} t} S_{k}(x)=\sum_{k=1}^{\infty} B_{k} e^{-k^{2} \pi^{2} t} \sin k \pi x$$观察指数项可知\( k \)越大的项,随着\( t \)的增加衰减越快,对应的正弦函数振荡频率越高。

        传热方程描述了这样一类物理模型,例如一个棒状样品,两端置于\( 0 \)度的状态,而热量会在棒中传递,最后在两端流失,因此解函数中包含的都是正弦函数,它在\( x=0 \)和\(x=1  \)点都为零。初值条件:\(u(0, x)=1  \),即\( t=0  \)时\( u(0, x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} B_{k} \sin k \pi x=1 \),这样同样地将传热方程简化成傅里叶级数问题。求得所有的\(B_{k}  \)滞后,我们就可以得到解函数方程$$u(t, x)=\sum_{k=1}^{\infty} B_{k} e^{-k^{2} \pi^{2} t} \sin k \pi x$$

方程右边是温度\(u  \)对位置求二阶偏导数,按照我们前面对拉普拉斯方程的分析,虽然这里是一维的情况,但是描述仍是该点温度梯度的散度,也就是在该点热的净流量,那么单位时间该点温度的改变量和单位时间内的净热流量成正比,这里我们取的比例系数为\(1  \),实际情况是\(  k\)(热扩散率,由材料的热传导率、密度和热容决定),也就是\(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}=k\displaystyle\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}  \)。热传导方程是将描述热流动过程在时间和空间引发的变化等同起来。三维空间的方程可以写成$$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)$$其实这也是在各向同性的材料中的傅里叶传热方程( Fourier's law)。

由于函数这里的周期不是2派,所以需要变化一下,该怎么算???查一次我先前总结的关于傅里叶变换的文章。用matlab

延伸:这里的温度也可以是浓度,这样就有了菲克定律
(1)  【 菲克第一定律:假设高浓度区域往低浓度流的通量大小与浓度梯度(空间导数)成正比,通过这个假设,菲克第一定律把扩散通量与浓度联系起来。
一维空间下有$$J=-D \frac{\partial \phi}{\partial x}$$其中\(  J\)为扩散通量(单位时间内通过单位面积的物质的量),\(D  \)为扩散系数,\( \displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial x} \)为浓度梯度(类似我们传热方程中的温度梯度)。
二维或者三维情况,等式右侧浓度梯度是有方向的,现在是一个矢量,所以写成$$\mathbf{J}=-D \nabla \phi$$其中\(\mathbf{J} \)为扩散通量的矢量\(  \mathbf{J}(x, y, z)=J_{x} \mathbf{i}+J_{y} \mathbf{j}+J_{z} \mathbf{k}\)也是一个矢量场,于是$$J_{x}=-D \frac{\partial \phi}{\partial x}, J_{y}=-D \frac{\partial \phi}{\partial y}, J_{z}=-D \frac{\partial \phi}{\partial z}$$(2) 菲克第二定律:预测扩散会如何使得浓度随时间改变
一维空间,\( \displaystyle\frac{\partial \phi}{\partial t}=D \displaystyle\frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}} \)和我们的一维传热方程一致。
二维或者三维可以写成$$\frac{\partial \phi}{\partial t}=D \nabla^{2} \phi$$其中的\(\nabla^{2} \phi  \)就是每一点的净流量,或者叫作浓度梯度的散度,以二维为例\( \nabla^{2} \phi=\displaystyle\frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \phi}{\partial y^{2}} \)。当\(  \phi\)处于稳定态时,即浓度不会因为时间而变动,因此方程的左边等于零,对于二维或者三维情况有\(  \nabla^{2} \phi=0\),即拉普拉斯方程。

拓展:
(1) 基于热质运动概念的普适导热定律—物理学报

 

波动方程(Wave Equation)

$$\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}-\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=0$$波动方程是二阶齐次线性偏微分方程,严格求解需要初值条件和边值条件。注意这里的线性体现在,如果\(y_1 = u_1(x,t)\)是方程的一个解,\(y_2 = u_2(x,t)\)也是方程的一个解,那么\(y_1\)和\(y_2\)的线性组合也一定是方程的解。

采用分离变量法,令\(y(x, t)=Y(x) f(t)  \)则有$$f \frac{d^{2} Y}{d x^{2}}-\frac{1}{v^{2}} Y \frac{d^{2} f}{d t^{2}}=0$$两项分别只是\(x \)和\(t\)的函数,所以他们俩都等于一个与\(x \)和\(t\)无关的常数,即\(v^{2} \displaystyle\frac{1}{Y} \frac{d^{2} Y}{d x^{2}}=\displaystyle\frac{1}{f} \frac{d^{2} f}{d t^{2}}=-\lambda\),于是$$f^{\prime \prime}(t)+\lambda f(t)=0, \quad Y^{\prime \prime}(x)+\frac{\lambda}{v^{2}} Y(x)=0$$(a)  若\(  \lambda<0\),则$$ \quad f(t)=A e^{\sqrt{-\lambda} t}+B e^{-\sqrt{-\lambda} t}$$不符合振动形式。
(b)  若\( \lambda>0 \) ,则$$\quad f(t)=A \sin (\omega t+\phi),\quad Y(x)=\operatorname{Csin}(k x)+\operatorname{Dcos}(k x)$$其中\(  \omega^{2}=\lambda, \quad k=\displaystyle\frac{\omega}{v}\)。

注:将二阶齐次偏微分方程变成了二阶齐次常微分方程,零解形式为\(f(t)=c_{1} e^{s_{1} t}+c_{2} e^{s_{2} t}  \),其中\( s_{1} \)和\( s_{2} \)为特征方程\( s^2+\lambda=0 \)的解,只有当\( s \)存在虚部时,方程才有振动oscillate。前面讨论的当\(  \lambda<0\)时,两个特征值都是实数,没有振动项,而且特征值一正一复,必然导致时间无穷大的时候,无法收敛(振幅无穷大,能量无穷大)。当\(  \lambda>0\)时,特征值只存在虚部,那么就是纯振动,没有阻尼damping,方程的解也可以写成两个指数相加,但是由于指数上的幂互为相反数,给定一个初始条件,那么两个指数项的系数可以确定(大概率是复数),写成欧拉公式的形式,那么所有这些虚部都会消失,只留下正弦和余弦项,同样角度的正余弦的线性组合很容易就改写成\(  A \sin (\omega t+\phi)\)纯正弦的形式。

波的解比波动方程更早出现,之后才有了波动方程这一数学架构,然后把之前的解代进去发现确实是没错的,总之最后是数学和物理的完美结合。下图是一维波动的情况,

其中\(u(x, t)=f(x-v t)\)和\(u(x, t)=g(x+v t)\)分别是right moving wave和left moving wave的general solution,而更general的解就是二者的组合。注意这里的函数\( f\)和\(g\)可以传递的是任何形状的波的信息,即是任意一元\(\mathrm{C}^2\)函数。

 

对比——待整理

双曲型偏微分方程

圆锥曲线

如何理解三类PDE(椭圆, 抛物, 双曲)?

三个重要的二阶偏微分方程
(1) 拉普拉斯方程,椭圆方程(elliptic equation);
(2) 传热方程,抛物线方程(parabolic equation);
(3) 波动方程,双曲线方程(hyperbolic equation)。

拉普拉斯方程是求解一个区域内的偏微分方程,而传热方程和波动方程则引入了时间变量,不同的是传热方程中只有时间的一阶导数,而波动方程中则有时间的二阶导数$$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$$

传热方程和波动方程的比较

(1) 传热方程\(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}\),信号传输速度无限快(当然不可能超过光速)。若有初值\( u(0)=\delta(x) \),这里是指\( t=0 \)的状态,则有$$u(t)=\frac{1}{\sqrt{4 \pi t}} e^{-x^{2} / 4 t}$$时间\( t \)刚刚大于零,函数值就变得很小。

(2) 波动方程\(  \displaystyle\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}\),信号传输速度为\(  c\)(不是特指光速)。若有初值\(u(0)=\delta(x)  \),则有\(u(t)=\frac{1}{2} \delta(x-c t)+\frac{1}{2} \delta(x+c t)  \)代表脉冲波向两个方向以速度\( c \)传播。

解波动方程

对于这个二阶偏微分方程,通常给定的初值条件为两个即\( u(0, x) \)和\(  \displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}(0, x)\)。下面两个例子:
(1) 在一维无限空间的传播\( -\infty<x<\infty \),表达式为\(  u(t, x)=f(x-c t)+g(x+c t)\)。则有$$u(0, x)=f(x)+g(x), \quad \frac{\partial u}{\partial t}(0, x)=-c f^{\prime}(x)+c g^{\prime}(x)$$(2) 在有限长度弦上(两端固定),用变量分离法来求解波动方程,\( u(t, x)=\sum d_{n}(\cos n c t)(\sin n x) \),通过初始条件\( u(0, x)=\sum d_{n} \sin n x \)来确定参数\( d_{n} \)。

 

亥姆霍兹方程(待补充)

波动方程代入行波得到亥姆霍兹方程。

逆算子,数值计算相比拉普拉斯方程很容易发散,很难求数值解。

来源 复旦大学 奋斗.机遇.物理 全5讲 主讲-郝柏林 视频教程_最后一讲16分钟

参考资料:
(1) 如何通俗地理解拉普拉斯方程、泊松方程、亥姆霍兹方程?—知乎

 

连续性方程

continuity equation,其核心是xx不能凭空消失和产生,只能转移。xx的移动产生所谓的"流"。

以电流为例,电荷是是守恒的,它只有在移动到别处时才会在起初的位置消失,而移动电荷就会产生电流。哪里有电流走不动了,哪里就有电荷积累。电荷的分布可以像流体一样变动,而且:
电流密度 = 电荷密度 × 速度,或者用符号表示为:$$\boldsymbol{j}=\rho v$$从一个体积里逸出的总电流量必须等于这个体积里电荷的消失率:
电流密度的散度 = 电荷密度的减少率,或者用公式表示为$$\nabla \cdot \boldsymbol{j}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}$$流和密度是general的,不一定是这里的电流。所有的物理量,只要是守恒的,都可以找到类似的流守恒定理。这里有电流密度,常见的还有能流密度、粒子流密度、热流密度等 ,物理意义均为单位时间单位面积通过的粒子数(能量、电荷等) 。所有的“*流密度”的微观形式都是“**密度(乘以)速度”。如果这里的\( \rho \)是温度的话,\( \vec{j} \)是热流密度(温度的梯度乘以一个系数)。最常见的比如电磁场-能量密度和能流密度守恒。

在物理学中,连续性方程是描述守恒量传输的偏微分方程。由于在各自适当的条件下,质量、能量、动量、电荷等,都是守恒量,所以很多传输行为都可以用连续性方程来描述。连续性方程,本质就是局域性的守恒定律方程。对于连续性方程,我们可以写成更一般的形式:$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{j}=\sigma$$其中的\(\rho  \)表示空间中物理量\( q \)的密度,\(  \mathbf{j}\)表示\(  q\)的通量(flux),\( \sigma \)表示单位时间内产生的\(  q\)的量,如果\( \sigma \)是正的,那么称该处为"【】",如果是负的,称为“【】”(sink),或者汇点。这里的源或者漏,其实就是之前讨论过的【输入函数】或者【激励】。比如高斯定律\(\nabla \cdot \mathbf{E}=\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}  \),等式右边就是源。

 

继续补充,从电动力学——静磁现象的基本理论描述

参考资料:
(1) 连续性方程-Wiki
(2) 

 

施图姆-刘维尔理论 (Sturm–Liouville theory )

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数学物理方法 3-4 施图姆-刘维尔本征值问题

施图姆-刘维尔理论;若干特殊方程的导出;二阶ODE级数解法基础

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