物理之旅

物理学中的类比

参考资料:
(1) 理解物理图像,善用类比思想—《物理》陈征

 

平动-转动类比

宏观或者微观物质的运动,可以分为平动和转动,都反映了物质的运动特性。

对于平动,首先从质量开始,力的作用下,就有速度、加速度、动量、(平动)动能。

对于转动,质量变成了转动惯量,说白了就是反映物质转动难以程度的量,或则是物质保持原有转动状态的能力,数值越大,越难改变其转动状态/让其转动。先前的力变成了力矩,不仅是具有大小和方向的力,还要考虑力的作用点。于是在力矩的作用下,衍生出角速度、角加速度、角动量、(转动)动能。力(Force)直接改变物体平动状态,力矩(Torque)直接改变物体的转动状态!合外力是物体平动状态改变的原因,而合外力矩是物体转动状态改变的原因!

公式如下(在多变量微积分笔记也有记录)$$\begin{array}{l} \mathbf{F} \Rightarrow \mathbf{M}=\mathbf{r} \times \mathbf{F} \\ m \Rightarrow I=m \mathbf{r}^{2} \\ \mathbf{v} \Rightarrow {\boldsymbol{\omega}} \\ E_{\text {translational }}=\displaystyle\frac{1}{2} m \mathbf{v}^{2} \Rightarrow E_{\text {rotation }}=\displaystyle\frac{1}{2} I \boldsymbol{\omega}^{2} \\ a_{v}=\displaystyle\frac{\mathbf{F}}{m} \Rightarrow a_{w}=\displaystyle\frac{\mathbf{M}}{I} \\ \mathbf{p}=m\mathbf{v} \Rightarrow \mathbf{L}=\mathbf{r} \times \mathbf{p}=\mathbf{r} \times(m \mathbf{v})=\mathbf{r} \times(\boldsymbol{\omega} \times(m \mathbf{r}))=m \mathbf{r}^{2} \boldsymbol{\omega}=I \boldsymbol{\omega} \\ E_{\text {translational }}=\displaystyle\frac{\mathbf{p}^{2}}{2 m} \Rightarrow E_{\text {rotation }}=\displaystyle\frac{\mathbf{L}^{2}}{2 I} \\ \mathbf{p}=\mathbf{F}t \Rightarrow \mathbf{L}=\mathbf{M}t\end{array}$$

注:(参考知乎)
1. 力矩的方向:转动的物体本身有个角动量,那么力矩的方向对应于物体的角动量的改变方向,也就是说,力矩使得物体在力矩方向上的角动量增大。物体所受的外力矩等于其角动量的变化率。类似于平动,力使得物体的动量在力的方向上增加。
2. 平动中的距离变化,类比于转动中的角度变化,所以转动时力矩做的功为\( W=\displaystyle\int_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}} \mathbf{M} d \varphi \),类比于平动中的\(  W=\displaystyle\int_{r_{1}}^{r_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}\)。
3. 合外力矩对物体做的功等于该物体转动动能的变化量。
4. 角动量如果不要里面的质量,那么数值上等于单位时间内矢径扫过的面积大小的两倍。绕椭圆轨道运行的行星角动量守恒,因为万有引力的力臂和力的方向在一条直线上,即力矩为零,所以行星的角动量一直不变,因此行星和太阳连线,单位时间内扫过的面积不变,这就是开普勒第二定律。MIT-多变量微积分也有讲。
5. 如芭蕾舞演员在旋转中突然把手臂收起来,旋转速度就会更快,就是角动量不变的缘故。
6. 能量和力矩有相同的量纲,是否代表其背后有本质上的物理联系?

电学-力学类比

上面一个图是“弹簧-重物-粘壶(阻尼器)模型”,下面的图是“RLC电路”。二者均可以用下面的方程来描述$$A \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+B \frac{d y}{d t}+C y=f(t)$$如果三个系数分别表示质量\(  m\)、阻尼系数\(b  \)和弹簧常数\(  k\),\(  y^{\prime \prime}, y^{\prime}, y\)分别表示加速度、速度、位移,那么可以写成$$m y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+k y=f$$而如果是RLC电路,那么可以改写为$$L \frac{d I}{d t}+R I+\frac{1}{C} \int I d t=f(t)$$注意上面的式子才是有明确的物理意义的,如果方程两边对时间求个导,可以得到与力学体系完全一致的表达式,但是丧失了其物理内涵$$L I^{\prime \prime}+R I^{\prime}+\frac{1}{C} I=f(t)^{\prime}$$两个系统就可以进行对比:
质量其实描述的是物体的惯性,表现为物体对其运动状态变化的一种阻抗程度,尽量使其保持现有的状态,不论是静止状态,或是匀速直线运动状态;其实电感也是类似,电感的特点是因为通过的电流的改变而产生电动势,来抵抗电流的变化。运动状态用\( v \)来描述,于是对应的是电流\( I \)。于是一个物体的动能和一个电感的能量存在对应关系$$\begin{aligned} v & \Rightarrow I \\ \frac{1}{2} m v^{2} & \Rightarrow \frac{1}{2} L I^{2} \end{aligned}$$时间\(  t\)对任何体系都是一样的,或者说时间是一种绝对的概念,在任何物理模型中都是“绝对”存在,并且描述相同的物理意义。那么由此,速度和时间的乘积,必然对应电流和时间的乘积,于是有$$s=vt \quad\Rightarrow\quad Q=It$$注意这里的\(s  \)是位移,我们当然要给它定个方向,而\( Q \)似乎是标量,但是其实其方向也可定义为电流跑走的方向,毕竟电流密度也是有方向的。

谈一下两个系统微分方程各组分的对应关系
(1)速度对时间求导就是加速度\(  y^{\prime \prime}\),对应于电学系统就是\(\displaystyle\frac{d I}{d t} \)电流随时间的变化率;而\( m y^{\prime \prime} \)是对外力响应的一种形式,即驱动物体加速,而\( L \displaystyle\frac{d I}{d t} \)也是对外界电压的一种响应,即产生反抗的感生电动势。
(2)  力学体系,速度和阻尼系数的乘积\(  b y^{\prime}\)也是对外力耗散的一种形式;对于电学系统,\(R I  \)表示的是电阻两端的电压,这也是输入电压的接收方之一。
(3)  力学体系,还需要克服弹簧作用力,于是有\(  k y\);电学系统则为\(\displaystyle \frac{1}{C} \int I d t\),其中的\(\displaystyle\frac{1}{C} \)就是“弹簧常数”,\(\displaystyle\int I d t  \)其实就是\( Q\),对应于力学的位移。注意无论是\(  s\)还是\(Q  \)都是一个积累的效果,在这一点上它们是一致的。

弹簧和电容其实是等价的。弹簧被不断压缩,那么弹性势能越来越大;不断给电容两端冲上电荷,那么电容的能量越来越大,这种能力是存储在电容里面,和势能的概念非常相似。如果压缩弹簧的力撤掉,对应的过程就是给电容充电的电源撤走,那么弹簧的弹性势能将会被释放,而电容中存储的电荷也将被释放,即释放能量。即微分方程第一项和第三项之间能量相互转化,但是没有损失,但是体系的总能量通过第二项损耗我们电容想象成弹簧常数为\(\displaystyle\frac { 1 }{C  } \) 的“弹簧”。$$\frac { 1 }{ 2 } kx^2 \quad \Rightarrow \quad \frac { 1 }{ 2 } \frac { 1 }{ C } Q^2$$还有一种方式表达弹性势能是写成\(\displaystyle\displaystyle\frac { 1 }{ 2 } \frac { F^2 }{  k}  \),其中\( F\)是一个变量,最终的弹性势能对应于最终的\(  F\),同样地,电容在不断充电过程中,所需要的电压\(U  \)是越来越大的,于是对应关系为$$\frac { 1 }{ 2 } \frac { F^2 }{  k}  \quad \Rightarrow \quad \frac { 1 }{ 2 } C V^2 $$物体的总能量为动能和弹性势能之和,分别对应电感和电容中存储的能量,于是总能量类比为$$\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} k x^{2} \quad\Rightarrow \quad \frac{1}{2} L I^{2}+\frac{1}{2} C V^{2}$$注:输入为正余弦信号的时候,RLC电路的复阻抗\( R+i\left(\omega L-\displaystyle\frac{1}{\omega C}\right) \),力学里面也有机械阻抗。

电学-流体类比

参见这里 以及这里

如果直接在这个网站搜analogy会得到很多有用结果

单向阀门类比二极管。

电场和地形的类比:(电场和重力场)

电量 \(\longrightarrow\) 水库中的水量
电势 位高低
等势面 \(\longrightarrow\) 等高线
电场强度 \(\longrightarrow\) 斜面坡度
电压 \(\longrightarrow\) 洛差大小
电流 \(\longrightarrow\) 水流大小
电阻 \(\longrightarrow\) 河道宽窄

电学-声学类比

Engineering Acoustics/Electro-acoustic analogies-Wiki

Mechanical–electrical analogies-Wiki

 

 

资料:

力学中的动量对应的是电学中的磁链$$p=\int F d t=mv \quad \Rightarrow \quad \lambda=\int \mathcal{E} d t=LI$$力学系统的驱动源是\( F \),而电路系统的驱动源就是电压\( \mathcal{E} \)(或\(  U\))。力的时间积累就是

注:我们知道电流除以面积等于电流密度(单位时间,单位面积,流过电荷的数量),而速度除以面积表示的是不可压缩流体的流量(单位时间,单位面积的流过流体的数量)???。

 

Analogous Electrical and Mechanical Systems

电学能以某个实际的、非微观的模型类比吗?-知乎

力学中与电学量对应的概念

 

小专题

 

摩擦力的奥秘:书页交叉的两本书,可以吊起小汽车

参考资料:

GPS定位和相对论效应

GPS定位确实需要考虑相对论效应

简单说说GPS系统中时间相对论修正的来源

 

蒸发制冷

谈谈蒸发制冷

 

厉害了,一张薄膜能将室温狂降17℃

 

参考资料:
(1) 谈谈传热:我也来蹭蹭热点-姬扬-科学网
(2) 华裔科学家尹晓波的降温薄膜原理是什么?有没有希望取代空调?-知乎
(3) 宁波瑞凌新能源科技有限公司

 

谈谈第四种导热方式:真空声子传热

Lichtenberg Figure

Particle Shower

 

物理大师思想

More is Different

著名的理论物理学家狄拉克认为人类已经找到了绝大部分物理学和全部化学领域所需要的数学工具,但是很多过于复杂而无法用含有几个摩尔数量级的偏微分方程组得到精确解;物理化学家奥斯特瓦尔特也发表过类似的言论,认为随着物理化学的快速发展,总一天实验化学会被取代,一切化学反应将不再需要在试管和烧瓶中进行,人们需要做的仅仅是计算和模拟这些反应。但是事实证明,一百年后的今年,这些观点似乎并不正确,我们发现了太多无法用已有定理定律解释的现象,我们当然不可以把这些目前还没有明确解释的现象称为是伪科学。

参考资料:
(1) More is different的中心思想-360doc
(2) 怎么理解 Anderson那篇 more is different论文?- 知乎
(3) 「More is different.」是否是物理学界的「政治正确」?- 知乎
(4) more is different-科学网-代亮
(5) 忆安德森:他是20世纪凝聚态物理的一面旗帜-文小刚
(6) 凝聚态物理奠基人菲利普·安德森去世,More is Different 思想长存 
(7) 重温 | More is different——凝聚态物理的《独立宣言》-中科院物理所

“新颖”为什么比“正确”更重要?

 

任何伟大的科学成就,都源于思想自由

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