Incremental analysis

工程师不是卖弄数学的人，而是搭建有用的系统的人，并且找到最简单、便利、便宜的方法。工程上的美学就是如何让事情变简单。当问题在数学方面很棘手的时候，我们就应该意识到我们是工程师，让我们找到更简单的方法并运用直觉。

如何解决上面信号的distortion的问题，即一个正弦信号，经过一个nonlinear device(其实也是一个transfer function)作用后，输出的是一个非正弦信号。答案就是【zen】(禅宗)：你必须在一个院子里坐下，注视地上的一块小石头，你专注于它，直到地球上的其他一切都小时。好了，回到现实，就是你只关注transfer function上非常小的一段，这样在这非常小的一段内，可以近似认为是线性的，但是注意此时的线性是存在offset的。那么我们只需要做如下两个事情：

• boost，抬升电压的大小为\(V_D\)，抬升后，LED两端的电压围绕\(V_D\)为中心，上下对称波动；
• shrink，即减少正弦波的振幅，也就是将正弦波的波峰和波谷压缩到正好对应于所选取的LED 特性曲线中那一小段线性区所对应的的最大电压和最小电压；

上述处理方法，人们常称之为incremental analysis/small signal method/small signal analysis。

输入：offset的部分用\(V_D\)，小信号用\(v_d\)表示，总信号用\(v_D\)表示；
输出：offset的部分用\(I_D\)，总信号用(i_d\)表示，总信号用\(i_D\)表示；

老师上课讲了"we saw the small signal graphically(曲线变直线)/mathematically(泰勒展开，一阶近似)/in circuit(LED等效为一个固定的电阻)"，这里我们不赘述，参考本节PPT。

takeaway  要点

 

 

Dependent Sources and Amplifiers

复习：

• Nonlinear circuits — can use the node method；
• Small signal trick resulted in linear response；

Amplifiers

【amplifier】放大器的要点：

• Signal amplification key to both analog and digital processing.
• Besides the obvious advantages of being heard farther away, amplification is key to noise tolerance during communcation.
• 模拟信号向数字信号转换需要信号的强度是一个特定值，这样才能转换成数字电平，所以如果原始模拟信号很小，就要利用放大器放大。
• 通常放大器除了有输入和输出，还可能包含电源端口(power port)，因为放大的信号意味着通过放大器实现信号功率的增益。

上图是模拟信号放大，下图是数字信号放大。

再谈放大器：

• We often don’t show the power port.
• Also, for convenience we commonly observe "the common ground discipline". In other words, all ports often share a common reference point called "ground".

 

Dependent Source

【dependent source】是一种新的device，如果看作黑箱的话，那么有2个-port，control port和output port，两个port分别有正负两个接线端，如图所示。
可以有多种形式：

• Voltage Controlled Current Source ：简写为【VCCS】，也就是Current at output port is a function of voltage at the input port；
• Current Controlled Voltage Source
• Voltage Controlled Voltage Source
• Current Controlled Current Source

下面分别展示我们之前就接触过的independent current source，然后对比新学的device，即Voltage Controlled Current Source。

通常情况下，当控制端口对电路没有任何其他影响的时候(比如汲取被控电路的电流或者分压)，就可以去除，不用明确地显示出控制端口，只画出输出端口即可。你可以简单地认为输出电流/电压受控于无论什么你想到的变量。你可以画出这样的菱形，让后在旁边写下关系式即可。你要记住，受控源只不过是一种的小的电路元件。

下面再展示另一个Voltage Controlled Current Source，而且表现出放大功能。

求解过程

where's the amplification? 我们给定一些参数之后，就可以得到上面蓝色框中更具体的表达式了。

注意我们这里得到的所谓的放大器是一个劣质的放大器(crummy amplifier)，因为放大系数是变化的。

根据上面蓝色框中的公式，我们知道从数学的角度看，随着\(v_I\)的不断增大，使得\(i_D\)平方式地快速增大，于是\(v_o\)会快速下降，从正值慢慢变为零，然后降到零以下，但是这只是mathematically predicted behavior，实际情况又是什么样的呢？

• If VCCS is a device that can source power(就是说VCCS向外供电), then the mathematically predicted behavior will be observed(也就是上图的曲线可以降到零，然后继续降为负值).
• 如果VCCS是一个【passive device】，那么它就不能source power，于是物理上\(v_o\)不可能为负值。那么不断增大\(v_I\)，使得\(v_o\)靠近零，此时会发生什么呢？难道是按照上面的数学公式，可以无限逼近上图的交点，只是不能取到吗？
  

 

 

MOSFET amplifier large signal analysis

大信号分析(large signal analysis)其实就是观察一个电路，比如含有MOSFET，然后想办法让设备以一种方式运作，从而让MOSFET总是处于饱和，你必须figure out参数的设定。尽管这里我们是以MOSFET为例，但是同样的分析方法也适用于其他device，比如BJT。

复习：

• Amp constructed using dependent source
  
• Dependent source in a circuit
  
• Superposition with dependent sources: one way → leave all dependent sources in; solve for one independent source at a time [section 3.5.1 of the text]不要去管受控源，仅仅开关你的独立源就可以了，然后观察单独开始一个独立源下的响应，最后把所有响应叠加，整个过程中受控源都保留在电路中。
• 放大器
  

 

实际上我们的老朋友MOSFET就是一个VCCS器件，即drain和source之间的电流是gate电压的函数\(i=f(v)\)。注意我们之前讨论了MOSFET的两种模型S model和SR model。The on-state (通路状态) behavior of the MOSFET is quite a bit more complex than either the ideal switch or the resistor model would have you believe. 在之前MOSFET的SR model中，我们用了一种很讨巧的方法，不能算是聪明，只能说很狡猾，tricked you into believeing that it was just a resistor. And we constrained how you use the MOSFET so that behavior was indeed a resistive behavior. But it turns out that in real life the behavior of the MOSFET between the drain and the source terminals, is much morec omplicated than the limited form in which you saw it. 今天要做的就是脱掉MOSFET的神秘包装。

下面Graphically对比S model，SR model以及实际的MOSFET的characteristic。

【Switch Current Source Model】(SCS model)
When \(v_{G S} \geq V_T\), and also \(v_{D S} \geq v_{G S}-V_T\), the MOSFET is in its 【Saturation Region】, and the SCS model of the MOSFET is more accurate than the S or SR model. 此时MOSFET被揍扁了，崩溃了，放弃抵抗躺平了(即\(i_{D S}\)不再随着\(v_{D S}\)的增长而增值，而是保持不变，注意在SR model这两者是线性关系)，MOSEFT就会在drain and source之间表现出电流源的特性，所以我们用SCS model MOSFET as a current source in that part。

注意使用该模型的前置条件，即前面的\(v_{D S}<v_{G S}-V_T\)的阶段，不属于SCS model的范围。

• S model— just for fun!
• SR model—在整个数字电路design中，我们关注SR model。比如一个下拉的MOSFET管开启的时候，或者许多MOSFET管开启的时候，输出电压就被拉到接近于地，所以\(v_{D S}\)很小，应用SR model make sense. ；
• SCS model—在模拟电路，比如放大器设计或者类似情况，we will be operating the MOSFET in a a saturation regeion。当讨论模拟电路的放大器的时候，我要求你们遵守这个规则，即饱和规则，就是说将工作在饱和区的MOSFET管作为一个电流源。

Note: alternatively (in more advanced courses)
\(v_{D S} \geq v_{G S}-V_T\)   use SCS model
\(v_{D S}<v_{G S}-V_T\)   use SR model
or, use SU Model (Section 7.8 of A&L)  也可以参考这里：Switch Unified (SU) MOSFET Model

Let's analyze the circuit. First, replace the MOSFET with its SCS model. 那么在给定电路元件和连接方式，以及control port (GS端)的电压的情况下，\(v_O\)以及\(i_{D S}\)是多少呢？下面用图像法形象展示求解方法。

在实际应用中，无论是MOSFET还是其他的BJT等等，我们都很关心起对应功能的工作区间，既有输入的工作区间，也有输出的工作区间。对于MOSFET要实现放大功能，那必须在saturation discipline下，下面分别从\(v_O\) versus \(v_I\)传递函数，以及负载线的角度求解 input/output operating range。

 

 

Amplifiers - small signal model

对于上面讨论的MOSFET，我们会碰到之前在学习放大器的时候遇到过的问题，即放大过程会导致放大后信号的distortion，即不能实现线性放大。这里我们采用的方法同样是禅宗，即只专注输入-输出电压关系式曲线上的一小段。

Good choice for operating point: midpoint of input operating range. 即上图红色圈出的。

第二种Mathematically的处理方法，除了基于\(v_O=V_S-\displaystyle\frac{R_L K}{2}\left(v_I-V_T\right)^2\)将自变量和应变量改写为offset + small signal，还可以直接用

How to choose the bias point: 

• gain component—这里是指\(g_m=K\left(V_I-V_T\right)\)被称作【跨导】(transconductance)，叫这个名字是因为它在某种程度上反映了对输入的传导能力。
• gain—\(A=-K\left(V_I-V_T\right) R_L\)
• 如果偏置点选择不当，当信号变大时可能被截断或者产生失真distortion
• Input valid operating range. Bias at midpoint of input operating range for maximum swing.  比如你想在正半周和负半周获得同样的偏移。

老师上课提了一个问题：上面我们讨论的是将一个小信号放大，那么如果你想将一个本来就很大的信号放大到更大，该怎么办呢？

实际上通过器件的电流越大，产生的各种噪声也越大，因此一个强大的放大器也许并不适合处理非常弱的信号，因为它们有较大的固有噪声，因此对于噪音敏感。

 

xxx

in glory

glitch

head out of

precipitously

shattering

wimp

grubby

articulation

embellish

in series with 串联 （The resistor, which is in series with the capacitor）