静电现象的基本理论描述

库仑定律

点电荷库仑定律(向心力)$$\vec{F}_{12}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r_{12}^{3}} \vec{r}_{12}$$

叠加原理

$$\vec{F}_{i}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sum_{i \neq j}^{N} \frac{q_{i} q_{j}}{r_{i j}^{3}} \vec{r}_{i j}$$连续积分描述
$$\vec{F}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \frac{q \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) d \tau^{\prime}}{R^{3}} \vec{R}$$对于两个带电体，1受到2总的静电作用力$$\vec{F}_{12}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \frac{\rho_{1}(\vec{r}) \rho_{2}\left(\vec{r}^{\prime}\right) d \tau d \tau^{\prime}}{R^{3}} \vec{R}$$注：(1) \( \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) \)表示的是单位体积所带的电荷量；(2)  习惯将右上角有一撇的作为“源”，作用点不用撇；(3)  上面如果积分里面分子是\(  R^{3}\)，如果改成平方，那么分母的\( \vec{R} \)要改为单位方向向量。

电场$$\vec{E}(\vec{r})=\vec{F}(\vec{r}) / q$$
与放入的检验电荷无关。电场引入的作用：
(1)  计算静电力；
(2)  静电相互作用的新图像当所有物理量随时间变化，可以看到第二种物理图像是正确的，而先前的是错误的。电场是一种客观存在的物理，具有能量、动量等。连续带电体产生的电场：$$\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \frac{\rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) d \tau}{R^{3}} \vec{R}$$

电场的散度性质-高斯定理

闭合曲面包围电荷(不要求是球)$$\begin{aligned} \vec{E} \cdot \Delta \vec{S} &=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \cdot \Delta S \\ &=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \cdot r^{2} \cdot \Delta \Omega \\ &=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \Delta \Omega \end{aligned}$$其中\(  \Delta \Omega\)为立体角，上面的表达式消去了\( r \)，只保留了体积微元，那么对体积积分$$\oint \vec{E} \cdot d \vec{S}=\int \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} d \Omega=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int d \Omega=\frac{q}{\varepsilon_{0}}$$高斯定理$$\oint \vec{E} \cdot d \vec{S}=\int[\nabla \cdot \vec{E}(\vec{r})] d \tau=\int \rho(\vec{r}) \cdot d \tau / \varepsilon_{0}$$曲面积分变成体积分，向量场的散度$$\nabla \cdot \vec{E}(\vec{r})=\rho(\vec{r}) / \varepsilon_{0}$$散度的理解：
(1)  一个场到底有没有汇聚和发散的地方；
(2)  散度为零，场线在此处连续；
(3)  散度不为零，空间中出现奇点(导致场线汇聚/发散)
(4)  自己的形象理解，把电荷看成泵，这个泵在不断地抽电场线，往外延伸，电荷越多，泵的功率越大，电场线越密集。

注：
(1)  如果\(\vec{r}=(x,y,z) \)，那么模长\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}  \)，对\( \vec{r} \)求梯度，我们当然可以用三个坐标轴的向量场来表示，但是还可以用更简洁的方式来描述$$\nabla r=\frac{\vec{r}}{r}$$(2)  直接对\( \vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{\tau} \frac{\rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) d \tau}{R^{3}} \vec{R} \)等式两边求散度有$$\nabla \cdot \vec{E}(\vec{r}^{\prime})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) d \tau\left(\nabla \cdot \frac{\vec{R}}{R^{3}}\right)$$而\( \nabla \cdot \vec{E}(\vec{r})=\rho(\vec{r}) / \varepsilon_{0} \)，两个公式结合起来可以推出$$\nabla \cdot\left(\frac{\vec{R}}{R^{3}}\right)=4 \pi \delta(\vec{R})$$注：在矢量分析那一章节，我们已经说明了\(  \nabla \cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\right)=4 \pi \delta^{3}(\boldsymbol{r})\)，对比发现其实\( \nabla \cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\right)=\nabla \cdot\left(\frac{\vec{R}}{R^{3}}\right) \)，因为\(  \frac{\vec{R}}{R^{1}}=\hat{\boldsymbol{r}}\)，这里的\(\hat{\boldsymbol{r}}  \)表示一个方向的单位向量。

静电场的旋度–安培环路定理

先了解两个公式：$$\begin{array}{c} \nabla r=\vec{r} / r \rightarrow \nabla R=\vec{R} / R \\ \nabla\left(\frac{1}{R}\right)=-\frac{\nabla R}{R^{2}}=-\frac{1}{R^{2}} \frac{\vec{R}}{R}=-\frac{\vec{R}}{R^{3}} \end{array}$$注：分部微分\(  \nabla f(r)=\frac{\partial f}{\partial r} \nabla r\)，\( \nabla \)算符同时具有矢量性和微分性。

静电场可以改写为$$\begin{aligned} \vec{E}(\vec{r}) &=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) d \tau \cdot \nabla\left(\frac{1}{R}\right) \\ &=-\nabla\left[\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \frac{\rho\left(\vec{r}^{\prime}\right)}{R} d \tau\right] \\ &=-\nabla \varphi(\vec{r}) \end{aligned}$$标量势$$\varphi(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int \frac{\rho\left(\vec{r}^{\prime}\right)}{R} d \tau$$静电场的环路积分$$\oint \vec{E} \cdot d \vec{l}=-\oint \nabla \varphi(\vec{r}) \cdot d \vec{l}=-\oint(\partial \varphi / \partial l) \cdot d l \equiv 0$$写成微分的形式$$\nabla \times \vec{E}(\vec{r})=-\nabla \times \nabla \varphi(\vec{r}) \equiv 0$$

无旋场=保守场=可以定义标量势(势函数的梯度形成的场)=积分与路径无关

电场：无旋，有源，从正电荷出来(有源)，跑到负电荷，中间不打转(打转就有旋)

注：
(1)  想一想为什么里面的梯度可以提到外面?
(2)  电势梯度的方向是从小的势指向大的势的地方，而电场线的方向是从大的势指向小的势，所以二者的方向差了一个负号。
(3)  \( \partial \varphi / \partial l \)表示沿着环路的切线方向求偏导数;
(4)  电场的环路积分，根据斯托克斯公式，其实是对旋度场的曲面积分，结果为零的话，用微分表达就是旋度场为零，即电势梯度场的负号的旋度场为零。

电偶极子

任何物质在电场中都会有响应，形成电偶极子。

一点点地拆分靠近观察：
人-电荷的性质-----衰减慢
女-电偶极子的性质---衰减较快   (细节)
30岁-电四极子的性质---衰减快   (更细节)$$\begin{aligned} \varphi(\vec{r}) &=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{r_{+}}-\frac{1}{r_{-}}\right) \\ & \approx \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{r_{-}-r_{+}}{r^{2}} \\ & \approx \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{l \cos \theta}{r^{2}} \\ &=\frac{p \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}} \\ &=\frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \end{aligned}$$对电势求梯度得到电场$$\begin{aligned} \vec{E}(\vec{r}) &=-\nabla \varphi \\ &=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[\frac{\nabla(\vec{p} \cdot \vec{r})}{r^{3}}+\vec{p} \cdot \vec{r} \nabla \frac{1}{r^{3}}\right] \\ &=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[\frac{\vec{p}-3(\vec{p} \cdot \hat{r}) \hat{r}}{r^{3}}\right] \end{aligned}$$设\(\hat{p} \| \hat{z}  \)，那么在球坐标系的三个分量$$\begin{array}{l} E_{r}=\frac{p \cos \theta}{2 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \\ E_{\theta}=\frac{p \sin \theta}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \\ E_{\phi}=0 \end{array}$$

注：
(1)   电偶极子的方向为什么是负电荷指向正电荷?
(2)  对电场的响应体现在两个方面：拉开多少电量和拉开多远距离。这就是电偶极子公式所描述的，物质的响应；
(3)  \( \nabla(\vec{p} \cdot \vec{r})=\vec{p} \)，\( \nabla\left(r^{n}\right)=n r^{n-1} \hat{r} \)，\(  \nabla r=\vec{r} / r\)，\( \nabla^{2}(1 / r)=-4 \pi \delta(\vec{r}) \)常见的记住。